2 随机变量及其概率分布

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2.1 随机变量

2.2 离散型随机变量

若随机变量的所有可能取值为有限个或可列个, 则称此随机变量为离散型随机变量

离散型随机变量的统计规律通常用概率分布律来描述.

设 X 为离散型随机变量, 若其可能取值为, 则称

\[ P\{X = x_k\} = p_k, k = 1 , 2, ... . . \]

为 \(X\) 的概率分布律或概率分布列, 简称为 \(X\) 的分布律 (distribution law) 或分布列 (distribution sequence)

概率分布律满足：

\[ \ p_k\ge 0,k=1,2,...\\ \sum_{i=1}^{+\infty}p_k=1 \]

2.2.1 0-1(p)分布

若随机变量 X 的概率分布律为

\(X\)	0	1
\(p\)	1-p	p

其中 \(0 < p < 1\) , 则称 \(X\) 服从参数为 \(p\) 的 \(0-1\) 分布, 也称为两点分布 (two point distribution) , 并用记号 \(X \sim 0 − 1 ( p)\) 表示 (也可表示为 \(B( 1 , p)\) ) . \(0 - 1\)分布的概率分布律也可写成如下形式:

\[ p\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1 \]

2.2.2 二项分布

若随机变量 X 的概率分布律为

\[ p\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{1-k},k=0,1,2,...,n \]

其中 \(0 < p < 1, n≥1\), 则称 \(X\) 服从参数为 \((n, p)\) 的二项分布 (binomial distribution) , 记为 \(X \sim B(n, p)\)

n重伯努利试验：设在 \(n\) 次独立重复试验中, 每次试验都只有两个结果: \(A, \overline A\),且每次试验中 \(A\) 发生的概率不变, 记 \(P( A) = p, 0 < p < 1\) ,

设 \(X\) 为在 \(n\) 次试验中 \(A\) 发生的次数, 则 \(X \sim B(n, p)\)

2.2.3 泊松分布

若随机变量 \(X\) 的概率分布律为

\[ P\{X=k\}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \]

其中 \(\lambda > 0\) , 则称 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布 (Poisson distribution ) , 记为 \(X \sim P(X)\).

泊松分布是 \(n\) 足够大时，\(p\)充分小时，泊松分布\((\lambda=np)\)接近于参数为\((n,p)\) 的二项分布。

2.2.4 超几何分布

若随机变量 \(X\) 的概率分布律为

\[ P\{X=k\}=\frac{C_a^kC_b^{n-k}}{C_N^n}, k=l_1,l_1+1,...l_2 \]

其中\(l_1=max\{0,n-b\},l_2=min\{a,n\}\)

就称 \(X\) 满足超几何分布 (hypergeometric distribution) , 记为 \(H(n, a, N)\).

2.3 随机变量的概率分布函数

设 \(X\) 为一随机变量, \(x\)为任意实数, 函数

\[ F(x) = P\{X \le x\} \]

称为随机变量 \(X\) 的概率分布函数, 简称分布函数 (distribution function) .

2.4 连续型随机变量

对于随机变量 \(X\) , 其分布函数为 \(F(x)\) , 若存在一个非负的实值函数 \(f (x)\) ,\(-\infty< x < + \infty\), 使得对任意实数 \(x\) , 有

\[ F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt \]

则称 \(X\) 为连续型随机变量, 称 \(f(x)\) 为 \(X\) 的概率密度函数 (probability density function ) , 简称密度函数

由性质（3），连续型随机变量取任 一定值的概率为零。

因此, 连续型随机变量落在开区间与相应闭区间上的概率相等。

（4）在\(f(x)\)的连续点 \(x\) 处， \(F'(x)=f(x)\)

2.4.1 均匀分布

设随机变量 \(X\) 具有密度函数

\[ f(x)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{b-a},\ &&x \in (a,b),\\ &0, &&其他, \end{aligned}\right. \]

则称 \(X\) 服从区间 \((a, b)\) 上均匀分布 (uniform distribution) , 记为 \(X \sim U ( a, b )\).

2.4.2 正态分布

设随机变量 \(X\) 具有密度函数

\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, -\infty<x<+\infty \]

其中 \(-\infty < p < + \infty\), \(\sigma > 0\) , 则称 \(X\) 服从参数为 \((\mu, \sigma)\) 的正态分布 (normal distribution) , 简称 \(X\) 为正态变量, 记为 \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\).

正态变量 \(X\) 的密度函数 \(f ( x)\) 具有以下性质:

(1) \(f( x )\) 关于 \(x = \mu\) 对称.

(2) \(\max_{-\infty<x<+\infty} f(x) = f(\mu) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\)

(3) \(\lim_{|x-\mu|\rightarrow+\infty}f(x)=0\)

\(f ( x )\) 的值是中间 (\(\mu\) 附近) 大，头(离 \(\mu\) 远的地方) 小, 而且是对称的 (关于 \(x = \mu\)).

正态变量的参数 \(\mu\) 为位置参数, 因为 给出了密度函数对称轴的位置及 \(X\) 的取值集中的位置;

称 \(\sigma\) 为尺度参数, 因为密度函数曲线的尺度(图形的形状) 完全由\(\sigma\) 决定 (而与 \(\mu\) 无关).

当 \(\mu=0,\sigma=1\)时, 若记这时的正态变量为 \(Z\) , 即 \(Z\sim N( 0,1 )\), 称 Z 服从标准正态分布 (standard normal distribution) , 其密度函数为

\[ \phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}, -\infty<x<+\infty \]

对任一实数 \(x\), 均有 \(\Phi(-x)=1-\Phi(x)\), 处理一般的正态分布函数，可以利用换元将其换成标准正态分布函数

\[ P\{a<X<b\}=\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma}) \]

2.4.3 指数分布

设随机变量 \(X\) 具有密度函数

\[ f(x)=\left\{ \begin{aligned} &\lambda e^{-\lambda x},\ &&x > 0,\\ &0, &&x \le0, \end{aligned}\right. \]

其中 \(λ > 0\), 则称 \(X\) 服从参数为 \(λ\) 的指数分布 (exponential distribution) , 记为 \(X \sim E (λ)\) .

\[ F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\left\{ \begin{aligned} &1- e^{-\lambda x},\ &&x > 0,\\ &0, &&x \le0, \end{aligned}\right. \]

无论 \(\lambda\) 为多少，将密度函数从负无穷积到正无穷都是1。

Note

注意有些时候，会用 \(\theta\) 来表示参数，

\[ f(x)=\left\{ \begin{aligned} &\frac1\theta e^{-\frac x\theta},\ &&x > 0,\\ &0, &&x \le0, \end{aligned}\right. \]

若将 \(X\) 看成某电子产品的寿命 (单位: \(h\)) , 则上述式子可解释为: “在已知产品用了 \(t_0 h\) 没有坏的条件下, 再用 \(t h\) 不坏” 的条件概率等于此产品 “最初使用 \(th\) 不坏” 的概率. 形象地说此产品 “忘却” 了 “ 已使用 \(t_0 h\)" ，所以常将其形象地称作指数分布的 “无记忆性”。

2.5 随机变量函数的分布

已知 \(X\) 的分布, \(Y = g ( X )\) , 其中 \(g(· )\) 已知, 要求 \(Y\) 的分布。

通用方法：

1. 先根据 \(X\) 非零部分推出 \(Y\) 的非零部分
2. 先求 \(Y\) 的分布函数，求的时候将 \({Y\le y}\) 转化为 \(X\) 的等价事件，然后根据 \(X\) 的密度函数来相应的计算\(Y\) 的分布函数。
3. 若要求 \(Y\) 的密度函数，只需要将分布函数求导即可

定理：设 \(X\) 为一连续型随机变量, 其密度函数为 \(f_X(x)\) , 随机变量 \(Y = g( X)\) . 若函数 \(y = g( x)\) 为一处处可寻的严格单调增函数 (或严格单调减函数) , 记 \(y = g( x)\)的反函数为 \(x = h( y)\) , 则 \(Y\) 的密度函数为

\[ f_Y(y)=\left\{ \begin{aligned} &f_X(h(y))\cdot |h'(y)|,\ &&y \in D,\\ &0, &&y \notin D, \end{aligned}\right. \]

其中 \(D\) 为函数 \(y = g ( x)\) 的值域.

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