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1 概率论的基本概念

文本统计：约 1116 个字

1.1 样本空间，随机事件

1.1.1 相关概念

随机试验：对随机现象进行观察、 记录或试验

  • 可以在相同的条件下重复进行;
  • 每次试验可能出现的结果是不确定的, 但能事先知道试验的所有可能结果;
  • 每次试验完成前不能预知哪一个结果会发生.

样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合，常用字母 \(S\) (或 \(\Omega\)) 来表示。

样本点：样本空间 \(S\) 中的每一个元素, 即试验的每一个结果

随机事件：样本空间的任一子集，可简称为事件。其中致函一个样本点的事件称为基本事件。

1.1.2 事件的相互关系及运算

假设所考虑的随机试验 E 的样本空间为 S, 且下述所提及的事件均为其子集。

（1）运算与关系

  1. 包含/包含于
  2. 相等
  3. 和事件
  4. 积事件
  5. 逆事件/对立事件
  6. 差事件

(2)运算律

  1. 交换律
  2. 结合律
  3. 分配律
  4. 德摩根定律

1.2 频率与概率

频率：在相同条件下进行 \(n ( n≥1)\) 次重复试验, 若事件 A 在这次重复试验中发生 \(n_A\) 次 ( 称 \(n_A\) 为 \(A\) 在这 \(n\) 次试验中发生的频数, \(0 ≤ n_A ≤ n\)) , 则称比值 \(\frac{n_A}{n}\) 为事件 \(A\) 在这 \(n\) 次试验中发生的频率 (frequency) , 记为 \(f_n ( A)\) ,

概率：设某一随机试验所对应的样本空间为 \(S\), 对 \(S\) 中的任一事件 \(A\), 当总的试验次数 \(n\) 充分大时, \(A\) 的频率 \(f_n( A)\) 的稳定值 \(p\) 定义为事件 \(A\) 的概率，记为\(P(A)=p\)

1.3 等可能概型

定义：一个随机试验, 如果满足下面两个条件:

  • 样本空间中样本点数有限 (有限性) ;

  • 出现每一个样本点的概率相等 ( 等可能性) ,

就称这个试验为等可能概型, 又称古典概型.

1.4 条件概率

定义：如果 P( B) > 0 , 那么在 B 发生的条件下 A 发生的条件概率(conditional probability) 为

\[ P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \]

乘法公式：当 \(P( A) ≠ 0, P( B) ≠ 0\) 时

\[ P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B) \]

全概率公式

设 \(S\) 为某一试验的样本空间. 若 \(B1 , B2, ... , B\) 是 \(S\) 的一个划分, 且 \(P( B ) > 0\), \(j = 1,2 , ... , n\), 则对任一事件 \(A\), 有

\[ P(A)=\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j) \]

贝叶斯公式

设 \(S\) 为某一试验的样本空间. 若 \(B1 , B2 , ... , B\) 是 \(S\) 的一个划分, 且 \(P( B ) > 0\), \(j = 1,2 , ... , n\), 则对任一事件 \(A\), \(P( A) ≠ 0\), 有

\[ P(B_k|A)=\frac{P(B_kA)}{P(A)}=\frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)} \]

若把事件 \(A\) 视为某一试验结果, 把划分 \(B1 , B2 ... , B\) 作为导致 \(A\) 发生的 \(n\) 种原因, 则贝叶斯公式为由 “结果” 推测 “原因” 的一个重要工具.

在利用贝叶斯公式时, 其中的 \(P( B_j )(j = 1,2, ... , n)\) 的概率往往是已知或事先假设 (或者根据以往的资料或经验的累积) 的, 常称\(P(B_j )\) 为先验概率 (prior probability) ; 而当事件 \(A\) 发生后, 对 \(B\) 发生的概率重新进行推断 (或修正) , 常称 \(P(B_j | A)\) 为后验概率 (posterior probability) .

1.5 事件的独立性与独立试验

定义：设 \(A, B\) 为两随机事件, 当

\[ P(AB) = P(A)\cdot P( B) \]

时, 称事件 \(A, B\) 相互独立 (independent ). 当 \(P(A) ̇P( B) ≠ 0\) 时, “事件 A 与事件 B 相互独立” 等价于 “条件概率等于无条件概率”, 即

\[ P(B|A)=P(B) \]

两两独立与相互独立

设 \(A, B, C\) 为三个随机事件, 当

\[ P(AB) = P( A) P( B)\\ P(AC) = P( A) P ( C)\\ P(BC) = P( B) P( C)\\ \]

都成立时, 称事件 \(A, B, C\) 两两独立. 若同时还满足

\[ P(ABC) = P( A) P( B) P( C) \]

则称事件 \(A, B, C\) 相互独立

Warning

相互独立的事件一定是两两独立的, 而两两独立的事件不一定相互独立.

设几个事件 \(A_1 , A_2 , ... , A_n( n≥2)\) , 若对其中任意 \(k\) 个事件 \(A_{i_1},A_{i_2},...A_{i_k}(2\le k\le n)\)，都有

\[ P(A_{i_1}A_{i_2}...A_{i_k})=\prod_{j=1}^{n}P(A_{i_j}) \]

成立, 则称事件 \(A_1, A_2, ... , A_n\) 相互独立

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