Appendix
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库仑定律¶
\[
\vec F_{12}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}\hat r_{12}
\]
\(\hat r_{12}\)意思是从1指向2单位向量
电场强度¶
\[
\vec E=\frac{\vec F}{q_0}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{r}
\]
电偶极矩¶
电偶极矩：\(p=2Qa=Ql\)，方向是从负方向指向正方向
电偶极子在电场中的力矩：\(\vec\tau=\vec p\times \vec E\)
电偶极子在电场中的能量：\(U=-\vec p\cdot \vec E\)
电场高斯定理¶
\[
\varepsilon_0\iint_{闭合曲面}\hat E\cdot d\hat A=q_{enclosed}
\]
常见的电势¶
将无限远处定义为零势能面
那么点电荷周围的电势为
\[
V=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}
\]
电偶极子周围的电势为
\[
V=\frac{\vec p\cdot \hat r}{4\pi\varepsilon_0r^2}
\]
带电球壳周围的电势
\[
V=\left\{
\begin{aligned}
\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r_p}\quad r_p>R\\
\frac{q}{4\pi\varepsilon_0R}\quad r_p<R\\
\end{aligned}
\right.
\]
带电球壳的能量为
\[
E=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0R}
\]
电容¶
电容定义
\[
C=\frac{q}{\triangle V}
\]
电容的串并联
\[
\begin{aligned}
&并联: C=C_1+C_2\\
&串联: \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}
\end{aligned}
\]
平行板电容器电容
\[
C=\frac{\varepsilon_0A}{d}
\]
电容器中储存的能量
\[
U=\frac12CV^2
\]
电场能量密度
\[
u=\frac12\varepsilon_0E^2
\]
电介质¶
电介质表面极化电荷密度
\[
\sigma'=\vec P \cdot \vec n
\]
S面内净余的极化电荷 \(\sum q'\) 为
\[
\iint_{闭合曲面S}P\cdot \text{d} S=-\sum_{S_内}q'
\]
极化强度与总电场的关系为
\[
P=\chi_e\varepsilon_0E
\]
电位移矢量
\[
D=\varepsilon_0\vec E+\vec P=(1+\chi_e)\varepsilon_0\vec E
\]
有电介质时的高斯定理
\[
\iint_S D\cdot \text{d}S=\sum_{S_内}q_0
\]
电流相关¶
电流强度
\[
i=\lim_{\triangle t\rightarrow0}\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{\text{d} q}{\text{d}t}
\]
电流密度矢量
\[
i=\iint_A \vec j\cdot \text{d}\vec A=\iint_A j \cos \theta \text{ d}A
\]
电流连续方程
\[
\iint_{闭合曲面} \vec j\cdot d\vec A=0
\]
电阻以及欧姆定律¶
电阻
\[
R=\int\rho\frac{\text{d}l}{A}
\]
欧姆定律微分形式
\[
\vec j=\sigma \vec E
\]
电动势
\[
\varepsilon=\int_-^+\vec K\cdot \text{d}\vec l
\]
电流元之间的相互作用¶
\[
d\vec{F_{12}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{i_2\text{d}\vec{s_2}\times(i_1\text{d}\vec{s_1}\times\hat{r_{12}})}{r_{12}^2}
\]
毕奥-萨伐尔定律¶
表示电流元周围的磁场大小
\[
\vec B =\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_L\frac{i\text{d}\vec s\times \hat r}{r^2}
\]
磁偶极矩¶
磁偶极矩在磁场中受到的力矩
\[
\vec \tau=\vec\mu\times \vec B
\]
磁偶极矩在磁场中的能量
\[
U=-\vec\mu\cdot \vec B
\]
磁场高斯定律¶
\[
\iint_{闭合曲面} \vec B\cdot d\vec A=0
\]
磁场安培环路定律¶
\[
\oint\vec B\cdot \text{d}\vec l =\mu_0\sum_{\text{inloop}}i
\]
洛伦兹力¶
电荷在场强中受到的力
\[
\vec F=q \vec v\times \vec B
\]
电磁感应定律¶
\[
\varepsilon=-\frac{\text{d}\Phi_B}{\text{d}t}
\]
动生电动势¶
\[
\varepsilon=\int_{-}^{+}\vec K\cdot \text{d}\vec l=\int_C^D(\vec v\times \vec B)\cdot \text{d}\vec l
\]
法拉第电磁感应定律微分形式¶
\[
\nabla\times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}
\]
互感与自感¶
磁通匝链数，线圈2中的磁通匝链数由线圈1中的电流决定
\[
\Psi_{12}=M_{12}i_1
\]
互感电动势
\[
\varepsilon_2=-M_{12}\frac{\text{d} i_1}{\text{d}t}
\]
自感系数
\[
\Psi=NBA=Li
\]
其中 \(N\) 为线圈数，\(B\) 为磁感应强度，\(A\) 为面积
自感电动势
\[
\varepsilon=-L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}
\]
自感磁能
\[
W=\frac{1}{2}LI^2
\]
在无漏磁的情况下，两线圈的互感系数
\[
M=\sqrt{L_1L_2}
\]
两个线圈串联的自感系数
\[
\begin{aligned}
&顺接时: L=L_1+L_2+2M\\
&反接时: L=L_1+L_2-2M
\end{aligned}
\]
多螺线管中存储的磁能
\[
U_m=\frac12\sum_{i=1}^kL_iI_i^2+\frac12\sum_{i,j=1}^kM_{ij}I_iI_j
\]
磁场的能量密度¶
\[
u_B=\frac{B^2}{2\mu_0}
\]
电场的能量密度¶
\[
u_E=\frac12\varepsilon_0 E^2
\]
磁介质¶
磁化强度与磁化电流的关系
\[
\oint_{(L)}M \cdot \text{d}l =\sum_{L_内}I'
\]
磁化强度与介质表面磁化电流之间的关系
\[
i'=M\times n
\]
其中 \(n\) 指的是磁介质表面的外法向单位矢量
有磁介质时的安培环路定理
\[
\oint_{(L)}H\cdot \text{d}l=\sum_{L_内} I_0
\]
其中 \(H=\frac{B}{\mu_0}-M\)，\(B\) 为有磁介质时的磁感应强度，\(M\) 为磁化强度矢量
磁化率与磁导率
\[
\begin{aligned}
&\text{磁化率：}\vec M=\chi_m\vec H\\
&\text{磁导率：}\vec B=\kappa_m\mu_0\vec H
\end{aligned}
\]
麦克斯韦方程组¶
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\iint_{闭合曲面}\vec D \cdot \text{d}\vec A=q_0\\
&\iint_{闭合曲面}\vec B \cdot \text{d}\vec A=0\\
&\oint\vec E\cdot \text{d}\vec l=-\frac{\text{d}\Phi_B}{\text{d}t}=-\iint\frac{\partial \vec B}{\partial t}\cdot \text{d}\vec A\\
&\oint\vec H\cdot \text{d}\vec l=\iint(\vec j_0+\frac{\partial \vec D}{\partial t})\cdot \text{d}\vec A=I_0+\iint\frac{\partial \vec D}{\partial t}\cdot \text{d}\vec A
\end{aligned}\right.
\]
麦克斯韦方程组微分形式¶
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\nabla\cdot \vec D=\rho_{e0}\\
&\nabla\cdot \vec B=0\\
&\nabla\times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}\\
&\nabla \times \vec H=\vec j_0+\frac{\partial \vec D}{\partial t}
\end{aligned}
\right.
\]
电磁波¶
电磁波的速度
\[
v=\frac{\omega}{k}=\frac{1}{\sqrt{\kappa_e \varepsilon_0 \kappa_m \mu_0}}
\]
电场强度 \(E\) 与磁场强度 $ H$ 的关系
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\sqrt{\kappa_e \varepsilon_0} E_0 = \sqrt{\kappa_m \mu_0} H_0 \\
&\varphi_E = \varphi_H
\end{aligned}
\right.
\]
在真空条件下
\[
c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}
\]
\[
E=\frac{B}{c}
\]
坡印亭矢量 \(\vec S\)
\[
\vec S =\vec E\times \vec H
\]
单位体积内电磁能的变化¶
\[
\frac{\text{d}U}{\text{d}t}=-\iint_{闭合曲面}\vec S\bullet \text{d}\vec A-Q+P
\]
其中 \(Q\) 为单位时间产生的焦耳热，\(P\) 为单位时间非静电力做的功
电磁波的平均能流密度¶
\[
I=\frac12 \frac{E_{max}^2}{\mu_0c}
\]
光压¶
\[
P=\frac{1}{c}(|\vec {S_{in}}|+|\vec{S_{ref}}|)
\]
电磁波的动量密度¶
\[
g=\frac{1}{c^2}S=\frac{1}{c^2}\vec E\times \vec H
\]
光波的多普勒效应¶
\[
f=f_0\frac{\sqrt{1-u^2/c^2}}{1+\frac{u}{c}\cos\theta}
\]
折射率¶
\[
n=\frac{c}{v}
\]
其中 \(n\) 为折射率，\(c\) 为光速，\(v\) 为在该物质中的速度
折射定律¶
\[
n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2
\]
光程¶
\[
\int_{\text{start}}^{\text{finish}}n\text{d}l
\]
旁轴近似¶
\[
\frac{n}{o}+\frac{n'}{i}=\frac{n'-n}{r}
\]
其中，\(n\) 为物体一侧介质的折射率，\(n'\) 为像一侧介质的折射率，\(r\) 为球面镜的半径。
对上式进行换元
\[
\begin{aligned}
f=\frac{n}{n'-n}r\\
f'=\frac{n'}{n'-n}r\\
\end{aligned}
\]
得到
\[
\frac{f}{o}+\frac{f'}{i}=1
\]
球面镜反射成像¶
也就是 \(n'=-n\) 的情况
\[
\frac{1}{o} - \frac{1}{i} = -\frac{2}{r}
\]
横向放大率
\[
m = \frac{y'}{y} = -\frac{i\theta'}{o\theta} = -\frac{n \cdot i}{n' \cdot o}
\]
薄透镜成像¶
\[
\frac{f_1' f_2'}{i} + \frac{f_1 f_2}{o} = f_1' + f_2
\]
对上述公式进行换元
\[
\left\{
\begin{aligned}
f'=\frac{f_1' f_2'}{f_1' + f_2}=\frac{n'}{\frac{n_L - n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2}}\\
f=\frac{f_1 f_2}{f_1' + f_2}=\frac{n}{\frac{n_L - n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2}}
\end{aligned}
\right.
\]
得到
\[
\frac{f'}{i}+\frac{f}{o}=1
\]
当 \(n=n’=1\) 时
\[
f = f' = \frac{1}{(n_L - 1) \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)}
\]
当 \(n=n'\) 有
\[
\begin{aligned}
&f=f'\\
&\text{Gauss's Form}:\frac{1}{i} + \frac{1}{o} = \frac{1}{f}\\
&\text{Newton's Form}: xx'=f^2=ff' \\
&\text{横向放大率}: m=-\frac{f}{x}=-\frac{x'}{f'}
\end{aligned}
\]
其中 \(o=f+x\)，\(i=f'+x'\)
杨氏双缝干涉¶
\[
\begin{aligned}
&亮纹位置: \frac{m\lambda d}{a}\\
&暗纹位置: \frac{(2m+1)\lambda d}{2a}
\end{aligned}
\]
低到高会有半波损失
薄膜干涉¶
干涉加强的情况为
\[
2n_2L+\frac12\lambda=m\lambda\quad m\in Z^+
\]
干涉减弱的情况是为
\[
2n_2L+\frac12\lambda=(m+\frac12)\lambda\quad m\in Z^+
\]
牛顿环¶
- 干涉加强（明环）：\(r = \sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2n}}, \quad k \in Z^+\)
- 干涉减弱（暗环）：\(r = \sqrt{\frac{kR\lambda}{n}}, \quad k \in N\)
单缝衍射¶
\[
I(\theta)=I_{max}\left[\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right]^2
\]
其中 \(\alpha=\frac{\pi}{\lambda}d\sin\theta\)
主极大的半角宽度
\[
\begin{aligned}
&a\sin\theta=\lambda\Rightarrow\sin \theta\approx \Delta\theta=\frac{\lambda}{a}\\
&\Delta y_m\approx f\cdot \Delta\theta=f\cdot \frac{\lambda}{a}
\end{aligned}
\]
圆孔衍射¶
第一条暗纹的位置在
\[
\sin \theta = 0.61 \frac{\lambda}{a}=1.22 \frac{\lambda}{D}
\]
光栅¶
\[
I_\theta = I_m \left[ \frac{\sin \alpha}{\alpha} \right]^2 \left[ \frac{\sin N\beta}{\sin \beta} \right]^2
\]
其中 \(\alpha = \frac{\pi a \sin \theta}{\lambda}\) \(\beta = \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda}\), \(I_m\) 为每个缝的光强
如果 \(I_m\) 规定为照在光栅上的总光强，那么公式为
\[
I_\theta = \frac{1}{N^2}I_m \left[\frac{\sin \alpha}{\alpha} \right]^2 \left[ \frac{\sin N\beta}{\sin \beta} \right]^2
\]
主极大的半角宽度
\[
\Delta \theta = \frac{\lambda}{Nd \cos \theta}
\]
当 \(\theta\) 比较小的时候，可以认为
\[
\Delta \theta = \frac{\lambda}{Nd}
\]
色散本领¶
意为单位波长差下角度的变化
\[
D = \frac{\Delta \theta}{\Delta \lambda} = \frac{m}{d \cos \theta}
\]
分辨本领¶
\[
R = \frac{\lambda}{\Delta \lambda} = N m
\]
布拉格定律¶
\[
2d \sin \theta = m \lambda
\]
其中 \(d\) 为晶格平面之间的距离。\(\theta\) 为入射光线与晶格平面的夹角
马隆定律¶
\[
I_2 = I_1 \cos^2 \theta
\]
其中 \(I_1\) 为入射偏振光的光强，\(I_2\) 为 出射偏振光的光强，\(\theta\) 为入射偏振光与 TA (transmission axis) 的夹角，其实也可被认为是入射与出射偏振光的夹角
偏振度¶
\[
P = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}
\]
布儒斯特角¶
\[
\tan \theta_p = \frac{n_2}{n_1}
\]
反射光线与折射光线为90度
光子的能量与动量¶
\[
E = h \nu = \hbar \omega, \quad p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k
\]
康普顿效应¶
\[
\Delta \lambda = \lambda' - \lambda_0 = \frac{h}{m_0 c} (1 - \cos \phi)
\]
动量算符¶
\[
p \leftrightarrow -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}
\]
能量算符¶
\[
E \leftrightarrow i\hbar \frac{\partial}{\partial t}
\]
一维含时薛定谔方程¶
\[
i \hbar \frac{\partial \Psi(x, t)}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2} + U(x, t) \right] \Psi(x, t)
\]
定态薛定谔方程¶
\[
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\text{d}^2 \psi(x)}{\text{d}x^2} + U(x) \psi(x) = E \psi(x)
\]
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