9 电感与材料的磁性质¶

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9.1 互感¶

9.1.1 公式¶

当线圈1中的电流变化时所激发的变化磁场，会在邻近的另一线圈中产生感应电动势；同样线圈2中的电流变化时，也会在线圈1中产生感应电动势。这种现象被称为互感现象，所产生的感应电动势被称为互感电动势

磁通匝链数 (Flux linkage) \(\Psi\) ：磁通量乘以磁通线相关线圈的匝数

线圈2中的磁通匝链数由线圈1中的电流决定 \(\Psi_{12}=M_{12}i_1\)，同理线圈1中的磁通匝链数由线圈2中的电流决定 \(\Psi_{21}=M_{21}i_2\)

由法拉第电磁感应定律，可知

\[ \varepsilon_2=-\frac{\text{d}\Psi}{\text{d}t}=-M_{12}\frac{\text{d}i_1}{\text{d}t} \]

相应的，\(\varepsilon_1\) 也是同样的算法。

其中 \(M_{12}\) 和 \(M_{21}\) 被称为互感系数，单位是 Hery (亨利)。

说明 \(M_{12}=M_{21}\)

以单匝线圈为例说明 \(M_{12}=M_{21}\)

\[ \begin{aligned} M_{12}&=\frac{\Phi_{12}}{I_1}\\ &=\oint_{(L_2)}A_1\cdot \text{d}\ l_2/I_1\\ &=\frac{\oint_{(L_2)}\frac{\mu_0}{4\pi}I_1\oint_{(L_1)}\frac{\text{d}l_1}{r_{12}}\cdot \text{d}\ l_2}{I_1}\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{(L_2)}\oint_{(L_1)}\frac{\text{d}\ l_1\cdot \text{d}\ l_2}{r_{12}}\\ \end{aligned} \]

同理可得 \(M_{21}\) 的表达式，可以明显看出二者相同

其中这个A是磁矢势，因为我们注意到曲面的磁通量仅与曲面的边界有关，所以我们就定义了这么一个物理量

Example

回忆一下螺线管中的电磁场 \(B=\mu_0 ni\)

9.1.2 互感的应用¶

变压器 (Transformer)
金属探测器 (Metal Detector)
心脏起搏器

9.2 自感¶

9.2.1 定义¶

电流变化引起磁场发生变化，激发自感电动势，由此定义自感系数L，简称自感

\[ \begin{aligned} \Psi&=NBA=Li\\ \varepsilon_L&=-\frac{\text{d}\Psi}{dt}=-L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}\\ \end{aligned} \]

螺线管的自感

螺绕环的自感

同轴电缆的自感

9.2.2 两个线圈的互感¶

两个线圈的互感系数与各自的自感系数有关

两个线圈串联的自感系数

9.2.3 自感磁能与互感磁能¶

自感磁能¶

双（多）螺线管中存储的磁能¶

磁场的能量密度¶

Note

虽然这个方程是从螺线管推导出来的，但这个方程给出了在磁场B的任何一点（在真空中或在非磁性物质中）存储的能量密度。

对比电场能量密度，我们得到

\[ \begin{aligned} u_B=\frac{B^2}{2\mu_0}=\frac{1}{2}\vec B\cdot \vec H\\ u_E=\frac{1}{2}\varepsilon_0E^2=\frac{1}{2}\vec D\cdot \vec E \end{aligned} \]

9.3 磁介质¶

9.3.1 磁介质的磁化¶

我们用分子电流观点来解释为什么铁芯能够使线圈中的磁通量增加。

我们现在考虑一段插在线圈中的软铁棒，棒中每个磁分子相当于一个环形电流，在没有外磁场的作用下各分子环流的取向是杂乱无章的，它们的磁矩相互抵消，此时宏观看起来软铁棒不显示磁性。而当线圈通入电流后，它产生一个外磁场 \(B_0\)，在磁化场的作用下，各分子环流电流的磁矩一定程度上沿着场的方向排列起来，这时软磁棒就被磁化了。

当均匀介质均匀磁化时，由于分子环流的方向一致，在介质内部任何两个分子环流中相邻的那一对电流元的方向总是相反的，它们的效果相互抵消，宏观看起来所有分子环流的总体与沿截面边缘的一个大环形电流等效，整体来看，磁化了的软铁棒就像一个由磁化电流组成的螺线管。这个磁化电流的螺线管产生磁感应强度\(B'\)，在内部与磁化场 \(B_0\)。因此棒内的总磁感应强度 \(B=B_0+B'\) 比没有铁芯时的磁感应强度大了。

9.3.2 磁化强度矢量 \(M\)¶

定义¶

为了描述磁介质的磁化状态，通常引入磁化强度矢量的概念，定义为单位体积内分子磁矩的矢量和，用\(\sum m_{分子}\) 来表示这个体积元中所有分子磁矩的矢量和

\[ M=\frac{\sum m_{分子}}{\Delta V} \]

磁化电流分布与磁化强度的关系¶

我们现在得到了

\[ \oint_{(L)}M \cdot \text{d}l =\sum_{L_内}I' \]

这个公式描述了磁介质中磁化电流 \(I'\) 的分布与磁化强度之间联系的普遍公式，简单来说就是沿任意曲线对磁化强度做积分得到的结果是穿过该曲面磁化电流的值（方向与沿曲线积分方向满足右手定则）

进而我们可以得到磁化强度与介质表面磁化电流之间的关系，我们可以在介质表面取一个矩形回路（如下图），由于只有磁介质内部的那一段M的积分不为0，贡献为 \(M_t\Delta l\)，从而我们有 \(M_t\Delta l=i'\Delta l\Rightarrow M_t=i'\)

考虑到方向，可以写出 \(i'=M\times n\)，式中 \(n\) 指的是磁介质表面的外法向单位矢量

磁介质内的磁感应强度矢量 B¶

如果磁化强度 \(M\) 已知，我们可以计算出它产生的附加磁感应强度 \(B’\) 出来，再加上磁化场的磁感应强度 \(B_0\) ，那么可以得到有磁介质时的磁感应强度 \(B\)

\[ B=B_0+B' \]

9.3.3 磁场强度矢量H 有磁介质时的安培环路定理¶

对于磁介质中的安培环路定理，可以借鉴有电介质时的高斯定理

\[ \oint_{(L)}B\cdot \text{d}l=\mu_0[\sum_{(L_内)}I_0+\sum_{(L_内)}I'] \]

其中 \(\sum_{(L_内)}I_0\) 和 \(\sum_{(L_内)}I'\) 分别穿过安培环路L的传导电流和磁化电流的总和，进而我们引进辅助矢量磁感应强度矢量 \(H=\frac{B}{\mu_0}-M\)

\[ \oint_{(L)}H \cdot \text{d}l=\oint_{(L)}(\frac{B}{\mu_0}-M)\cdot \text{d}l=\sum_{L_内}I_0 \]

磁场强度 \(H\) 的单位是\(A/m\)，另一种单位是奥斯特，记为\(Oe\)，其中\(1A/m=4\pi\times 10^{-3}Oe\)

有磁棒的螺线管中的磁感应强度

9.3.4 磁化率与磁导率¶

定义磁化率 \(\chi_m\) 为 \(\vec M=\chi_m \vec H\)

定义磁导率 \(\kappa_m\) 为 \(\vec B=\kappa_m\mu_0\vec H\)（fmh PPT用的记号是 \(\mu_m\) 之后的内容可能会混着来）

因为 \(\vec B=\mu_0(\vec H+\vec M)=\mu_0(1+\chi_m)\vec H=\kappa_m\mu_0\vec H\) 从而得到 \(\kappa_m=1+\chi_m\)

有磁棒的螺线管中的磁感应强度

9.3.5 磁介质的分类¶

在电介质中，\(\chi_e>0\)，\(\epsilon>1\)，而且对于大多数电介质来说，两者都是与场强无关的常量。但是磁介质的情况就要复杂得多，大体分为三类

顺磁材料：\(\chi_m>0,\kappa_m>1,(\chi_m\approx10^{-6})\)
抗磁材料：\(\chi_m<0,\kappa_m<1,(|\chi_m|<<10^{-6})\)
铁磁材料：\(\chi_m(H),\kappa_m(H);(\kappa_m\approx10^2\sim10^3)\)

物质的顺磁性与抗磁性的微观机制¶

分子磁矩的来源

关键词：轨道磁矩，自旋磁矩，分子的固有磁矩

在顺磁性物质中，分子具有固有磁矩，无外磁化场时，由于热运动，各分子磁矩的取向互相抵消；而在外磁场的作用下，每个分子磁矩受到一个力矩，各分子磁矩在一定程度上沿外场排列起来。由于热运动对磁矩的排列起到干扰作用，所以温度越高，顺磁效应越弱，即 \(\chi_m\) 随温度的升高而减小(\(\chi_m(T)=\frac{C}{T}\))。

抗磁效应：电子受到外界磁场的作用导致磁矩发生了变化（减小了）

在抗磁性物质中，每个分子在整体上无固有磁矩；在加了外磁场后，每个电子的感生磁矩\(\Delta m\)都与外磁场相反，从而整个分子内将产生与外磁场方向相反的感生磁矩

Note

上述抗磁效应在具有固有磁矩的顺磁质分子中同样存在，只不过顺磁效应比抗磁效应强得多，抗磁性被覆盖了

铁磁材料的磁化规律¶

铁磁材料在外界不加磁场的情况下 \(\mu_m\ne 0\) ，原因在于近邻原子磁矩间存在强相互作用，导致分子在未施加磁场的情况下按照一定方向排列，从而\(\mu_m\ne0\)

Curie-Weiss Law

\[ \chi_m=\frac{M}{H}=\frac{C}{T-\theta} \]

对于铁磁材料来说，\(\theta>0\)

磁滞回线

磁畴 (domains)

在没有外磁场的条件下铁磁质中的电子自旋磁矩可以在小范围内 ”自发“ 的排列起来，形成一个个小的 ”自发磁化区“，这种区域被称为磁畴。

通常在未磁化的铁磁质中，各磁畴内的磁化方向不同，在宏观上并不表现出磁性来。当外界磁场不断加大的时候，磁畴的磁化方向在不同程度上转向磁化场的方向，介质就显示出宏观的磁性来。当所有的磁畴都按照磁化场的方向排列好，介质的磁化就达到饱和。而介质中的掺杂和内应力在磁化场去掉后阻碍磁畴恢复到原来退磁的状态，这就是造成磁滞现象的主要原因。

铁磁材料的分类

软铁磁体：去掉外磁场后没有剩磁
硬铁磁体：去掉外加磁场后仍保留一定的剩余磁化强度的物体

如何让永磁体消磁

强烈的物理撞击
升高温度到 Cuire point

9.4 RC/RL Circuits¶

9.4.1 RC Circuits¶

根据电势列出相应方程

\[ \begin{aligned} iR+\frac{q}{C}&=\varepsilon\\ \frac{\text{d}q}{\text{d}t}+\frac{1}{RC}q&=\frac{\varepsilon}{R}\\ \Rightarrow q&=C\varepsilon(1-e^{-t/RC}) \end{aligned} \]

9.4.2 RL Circuits¶

开关K从b到a，根据电势列出方程

\[ \begin{aligned} &iR+L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}=\varepsilon\\ &\frac{\text{d}i}{\text{d}t}=\frac{1}{L}(\varepsilon-iR)=-\frac{R}{L}(i-\varepsilon/R)\\ &i-\varepsilon/R=C'e^{-\frac{R}{L}t}\\ t=0,i=0& \Rightarrow C'=-\frac{\varepsilon}{R} \end{aligned} \]

整理可得

\[ \begin{aligned} i&=\frac{\varepsilon}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t})\\ V_L&=-L\frac{\text{i}}{\text{t}}=-\varepsilon e^{-\frac{R}{L}t} \end{aligned} \]