8 电磁感应定律

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8.1 电磁感应

The electromotive force (emf, 电动势) e induced in a circuit is determined by the time rate of change of the magnetic flux through that circuit.

\[ \varepsilon =-\frac{\text{d}\Phi_B}{\text{d}t} \]

其中 \(\epsilon\) 的方向遵循右手法则p

关于电动势的方向

8.2 楞次定律

The induced current will appear in such a direction that it opposes the change in flux that produced it.

为什么会有楞次定律？我们从能量守恒的角度去理解问题

Claim: Direction of induced current must be so as to oppose the change; otherwise conservation of energy would be violated.

Why？If current reinforced the change, then the change would get bigger and that would in turn induce a larger current which would increase the change, etc.. 如果是助长变化，那么就会是一个正反馈的过程

电磁炮：利用变化的磁场让线圈获得电流，再利用带电导体在磁场中的运动让线圈获得动能。

Example

题干解答

当磁场强度发生变化的时候，根据楞次定律，导体圈会有收缩或者扩张的趋势，会受到一个力。

涡流：给变化的磁场，从而使导体产生电流，进而由电流的热效应发热

电磁制动：利用楞次定律，给一个反方向的作用力让车快速停下。

8.3 动生电动势

动生电动势与感生电动势的区别（本质一样，都是磁通量的变化）

In a steady magnetic field, moving conductor: motional emf（动生电动势）

Conductor in steady, Changing magnetic field: induced emf（感生电动势）

洛伦兹力产生了动生电动势

\[ \vec f=-e(\vec v\times \vec B) \]

那么

\[ \vec K=\frac{\vec f}{-e}=\vec v \times \vec B \]

从而

\[ \varepsilon=\int_{-}^{+}\vec K\cdot \text{d}\vec l=\int_C^D(\vec v\times \vec B)\cdot \text{d}\vec l \]

洛伦兹力不应该不做功吗？

由于F\(\bot\)\vec v，洛伦兹力永远对电荷不作功，而这里又说动生电动势是由洛伦兹力作功引起的，两者岂不矛盾？其实并不矛盾，我们这里的讨论只计及洛伦兹力的一部分。全面考虑的话，在运动导体中的电子不但具有导体本身的速度，而且还有相对导体的定向运动速度比，如上图所示，正是由于电子的后一运动构成了感应电流。因此，电子所受的总的洛伦兹力为

\[ F_总 =-e(u +v)\times B. \]

它与合成速度（u+v）垂直，总的说来洛伦兹力不对电子作功。然而F的一个分量

\[ F =-e(v\times B), \]

却对电子作正功，形成动生电动势；而另一个分量

\[ F'=-e(u ×B)， \]

它的方向沿\(-v\)，它是阻碍导体运动的，从而作负功。可以证明两个分量所作的功的代数和等于0（分别计算两个方向的功率，发现二者代数和为0）。因此，洛伦兹力的作用并不提供能量，而只是传递能量，即外力克服洛伦兹力的一个分量F'所作的功通过另一分量F转化为感应电流的能量。

导体环形切割

相关应用：发电机与电动机

8.4 感生电动势

电荷 \(q_0\) 在激发的环形电场中做的功 \(W\) 是 \(q_0\varepsilon\)

\[ \begin{aligned} \varepsilon q_0&=q_0E_{\text{induced}}\cdot 2\pi r\\ \varepsilon&=E_\text{{induced}}\cdot 2\pi r=\oint\vec E_{\text{induced}}\cdot \text{d}\vec l \end{aligned} \]

而又有法拉第电磁感应定律

\[ \begin{aligned} \varepsilon&=-\frac{\text{d}\Phi_B}{\text{d}t}\\ \oint\vec E_{\text{induced}}\cdot \text{d}\vec l&=-\frac{\text{d}\Phi_B}{\text{d}t}\\ &=-\iint\frac{\partial \vec B}{\partial t}\text{d}\vec A \end{aligned} \]

（这里为什么用的是偏导？因为此时B被看成了一个关于面积与时间的二元函数）

由于空间总电场是由静电场 \(\vec E_{sta}\)与激发电场 \(\vec E_{ind}\) 组成，静电场是保守场，而激发电场是非保守场。

\[ \begin{aligned} \oint\vec E\cdot \text{d}\vec l=\oint(\vec E_{sta}+\vec E_{ind})\cdot \text{d}\vec l=0+(-\iint\frac{\partial \vec B}{\partial t}\text{d}\vec A)=-\iint\frac{\partial \vec B}{\partial t}\text{d}\vec A \end{aligned} \]

左边再由斯托克斯定律，得到

\[ \oint\vec E\cdot \text{d}\vec l=\iint(\nabla\times\vec E)\text{d}\vec A \]

从而得到法拉第电磁感应定律的微分形式

\[ \nabla\times\vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t} \]

相关应用：电子回旋加速器

• \(B(R)=\frac{1}{2}\overline B\)
• 不受相对论效应的影响（与回旋加速器相比，随着速度的增大会改变质量）但受到电子因加速而辐射能量的限制。

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