7 稳恒磁场¶

文本统计：约 2433 个字

7.1 磁学基本现象¶

Attract small bits of one metal “Fe”
North, South poles——North pole direct the North of the earth, South pole direct the South of the earth
Like poles repel, and unlike poles attract.
Oersted Experiment
The behavior of a solenoid is similar to a bar magnet.
The interaction between electric currents.

电场力是通过电场来实现的，磁场力也相应的通过磁场来实现的。

安培分子环流假说：组成磁铁的最小单元就是环形电流，在宏观上就会显示处N，S级。

当然从现在的角度来说，原子是由带正电的原子核与绕核旋转并自旋带负电的电子构成。原子分子等微观粒子内的电子的运动形成了”分子电流“。从而可以将电流与磁体全部归结于电流之间的相互作用，这种相互作用通过磁场来传递。

7.2 安培定律¶

——电流元之间的相互作用

由于闭合回路的形状大小千变万化，我们很难整体地去计算闭合回路间的作用力。于是我们可以将两个载流回路分割成许多无穷小的线元，称为电流元，我们只需要研究任意一对电流元之间相互作用的基本规律即可。

通过安培精妙的试验，我们得到

\[ \text{d}F_{12}\propto \frac{i_1i_2\text{d}{s_1}\text{d}{s_2}}{r_{12}^2} \]

同时亦得到$\text{d}F_{12}$的大小与两电流元的取向也有关

\[ \begin{align*} \text{d}F_{12}\propto \sin \theta_1\\ \text{d}F_{12}\propto \sin \theta_2 \end{align*} \]

其中$\theta_1$为$r_{12}$与$\text{d}s_1$之间的夹角，$\theta_2$为 $\Pi$ 平面法向量与$\text{d}s_2$之间的夹角。

综上所述，我们可以写出矢量式

\[ d\vec{F_{12}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{i_2\text{d}\vec{s_2}\times(i_1\text{d}\vec{s_1}\times\hat{r_{12}})}{r_{12}^2} \]

其中$\mu_0=4\pi\times10^{-7}N/A^2$，$\vec F_{12}$ 代表电流元1对电流元2的力

安培定律的例子

我们可以观察到电流元之间的力不一定符合牛三，这是为什么呢？因为世界上本来就不存在单独的电流元，如果我们从整体（闭合回路）来考虑相互作用力，这是符合牛三定律的

借鉴引入电场强度矢量的方法，根据安培定律我们可以定义出相应的磁感应强度

\[ \begin{align*} \text{d}\vec{F_{2}}&=i_2\text{d}\vec{s_2}\times\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L1}\frac{i_1\text{d}\vec{s_1}\times\hat{r_{12}}}{r_{12}^2}\\ \vec B&=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L1}\frac{i_1\text{d}\vec{s_1}\times\hat{r_{12}}}{r_{12}^2}\\ \text{d}\vec{F_2}&=i_2\text{d}\vec{s_2}\times \vec B \end{align*} \]

$\vec B$ 的单位是 Tesla(T), $1T=1N/m\cdot A=10^4Gauss$

$\vec B$ 的大小为

\[ \frac{(\text{d}F_2)_{max}}{i_2\text{d}\vec {s_2}} \]

我认为上面公式里的max应该指的是改变 $s_2$ 的不同方向以达到的最大的力

7.3 毕奥-萨伐尔定律¶

——用于计算闭合电流在某一点产生的磁感应强度

公式：

\[ \vec B =\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_L\frac{i\text{d}\vec s\times \hat r}{r^2} \]

把任何闭合回路产生的磁感应强度$B$ 看成各个电流元 $Idl$ 的产生磁感应强度$dB$矢量叠加。$\hat r$ 的方向为电流元指向所求点

7.3.1 直导线周围的磁场¶

注意一下上图的下半部分，我们在一个通电导线周围放一个圆盘然后放上两个磁体。磁体一头一尾的力矩相互抵消从而圆盘可以保持平衡

7.3.2 圆环周围的磁场¶

磁偶极矩：$\mu=Ni\pi R^2$

7.3.3 平板周围的磁场¶

7.3.4 氢原子中心的磁场¶

7.3.5 螺线管(Solenoid)周围的磁场¶

A solenoid is defined by a current $i$ flowing through a wire that is wrapped $n$ turns per unit length on a cylinder of radius $R$ and length $L$.

当然线圈可以不只绕一圈，可以绕很多层线圈

7.4 磁场的高斯定律与安培环路定律¶

7.4.1 公式¶

磁通量

\[ \Phi_B=\iint\vec B\cdot \text{d}\vec A=\iint B\cos\theta \text{d}A \]

单位：$T\cdot m^2=Wb$

高斯定律

\[ \iint_{闭合曲面} \vec B\cdot d\vec A=0 \]

在磁场中通过任意闭合曲面的磁感应强度通量等于零。这说明了磁场是无源场，磁感线连接成了一个闭环。（不同于我们前面说的电场是有源场，由电荷作为起点或则终点）

磁场安培环路定律 $$ \oint\vec B\cdot \text{d}\vec l =\mu_0\sum_{\text{inloop}}i $$

其中电流的符号定义为：符合右手定律的记为 “+”，不符合的记为 “-”

在恒定电流的磁场中，磁感应强度沿任何闭合路径一周的线积分（即环路积分），等于闭合路径内所包围并穿过的电流的代数和的 $μ_0$ 倍，而与路径的形状大小无关。这个定理说明了磁场是有旋场，非保守力场。（这个定理需要细细品一下，可能看着例题想这个定理会简单一下。实际上就是磁场与电场的高斯定理与安培（静电）环路定理的地位反过来了，在电场的计算里面高斯定理尤为重要，而在磁场的计算里面，安培环路定理尤为重要）

与电场对比

此节摘自大物学习笔记（十四）——磁场中的高斯定理与安培环路定理 - 知乎

### 7.4.2 直导线周围的磁场

Radius of wire R, i : uniform distribution

如果取的圈在里面

7.4.3 平板周围的磁场¶

$n$为单位宽度通过的电流

这里的 $n$ 指的是单位长度的板上通过的电流

7.4.4 螺线管周围的磁场¶

7.4.5 螺绕环(Toroidal)周围的磁场¶

螺绕环就是绕在环面上的螺线型线圈

7.5 带电导线在磁场中受到力的作用¶

由安培定律

\[ \text{d}\vec{F_{12}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{i_2\text{d}\vec{s_2}\times(i_1\text{d}\vec{s_1}\times\hat{r_{12}})}{r_{12}^2} \]

得出电流在磁场中会受到力的作用

\[ \vec B_1=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{L1}\frac{i_1\text{d}\vec{s_1}\times\hat{r_{12}}}{r_{12}^2}\Rightarrow \text{d}\vec F_2=i_2\text{d}\vec s_2\times \vec B_1 \]

简单的例子

7.5.1 平行导体棒之间的安培力¶

7.5.2 载流线圈的磁矩¶

矩形载流线圈在均匀磁场中受到的力矩

我们得到了 $\vec \tau=IS(n\times B)$，虽然我们是从矩形线圈中得到的结论，但是在任意形状的线圈中也是成立的。

考虑环形电路上连线与磁场线平行的两点，经过计算，我们也得到了相应的结论。

磁偶极子：磁偶极子是类比电偶极子而建立的物理模型。具有等值异号的两个点磁荷构成的系统称为磁偶极子。但由于没有发现单独存在的磁单极子，因此磁偶极子的物理模型不是两个磁单极子，而是一段封闭回路电流。磁偶极子模型能够很好地描述小尺度闭合电路元产生的磁场分布

我们可以将封闭回路电流看成磁偶极子（但好像有些书不这么认为），从而我们定义磁偶极矩

磁偶极矩：$\vec \mu=iA\hat n$，其中 $\hat n$ 为右旋单位法线矢量

由此我们可以得到 $\vec \tau=\vec \mu\times \vec B$

也可以进一步引入磁偶极子在磁场中的势能的概念

\[ \begin{aligned} W&=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\vec \tau\cdot \text{d}\vec \theta\\ &=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\mu B\sin\theta\cdot \text{d}\vec \theta\\ &=-\mu B\cos \theta|_{\theta_1}^{\theta_2}\\ &=\mu B(\cos\theta_1-\cos\theta_2)\\ &=-(U_末-U_初) \end{aligned} \]

我们定义 $U=-\vec \mu \cdot \vec B$

关于电偶极子的回忆

电偶极子

这样，磁偶极矩与磁场同向的时候，势能最小；反向的时候，势能最大。