6 恒定电流¶
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6.1 电流强度与电流密度¶
电流强度：单位时间通过某截面（有面积的，所以可以继续引入电流密度矢量）的电荷量
\[
i=\lim_{\triangle t\rightarrow0}\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{\text{d} q}{\text{d}t}
\]
电流密度矢量 \(\vec j\)：通过单位面积的电流
\[
i=\iint_A \vec j\cdot \text{d}\vec A=\iint_A j \cos \theta \text{ d}A
\]
电流连续方程（实质是电荷守恒定律）
\[
\iint_{闭合曲面} \vec j\cdot \text{ d}\vec A=-\frac{\text{d}q}{\text{d}t}
\]
左边为单位时间里面S面流出的电量，设时间 \(\text{d}t\) 里包含在S面内的电量增量为\(\text{d}q\)，右边亦是单位时间里S面内的电量减少量。
恒定电流不随时间的变化，要求电荷的分布不随时间而变化。
从而
\[
\iint_{闭合曲面} \vec j\cdot d\vec A=0
\]
6.2 欧姆定律，电阻，电阻率¶
微分电阻
\[
R=\frac{\text{d}V}{\text{d}I}
\]
电导：\(G=\frac{1}{R}\)，单位西门子\(S\)
电阻率 \(\rho\) 与电导率 \(\sigma\)
\[
R=\rho\frac{L}{A}=\frac{L}{\sigma A}
\]
相应的积分形式
\[
R=\int\rho\frac{dl}{A}
\]
6.2.1 欧姆定律的微分形式¶
6.2.2 欧姆定律的微观解释¶
- 平均自由程 \(\lambda\)
- 平均自由时间 \(\tau\)
- 平均热运动速度 \(V_t\)
- 平均漂移速度 \(u\)
\[
\begin{aligned}
\vec a&=-\frac{e}{m}\vec E\\
\vec{u_末}&=\vec a\tau=-\frac{e}{m}\vec E\tau\\
\vec u&=\frac{u_初+u_末}{2}=\vec a\tau=-\frac{e}{2m}\vec E\tau=-\frac{e}{2m}\vec E\frac{\lambda}{v_t}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\Delta q&=neu\Delta t\cdot \Delta A\\
\Delta i&=\frac{\Delta q}{\Delta t}=neu\cdot \Delta A\\
j&=\frac{\Delta i}{\Delta A}=neu
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\vec j&=-ne\vec u=\frac{e}{2m}\vec E\frac{\lambda}{v_t}\\
\sigma&=\frac{e}{2m}\frac{\lambda}{v_t}
\end{aligned}
\]
\(\sigma\) 与 \(v_t\)呈反比，而\(v_t\)与\(\sqrt T\)呈正比，故 \(\sigma \propto \frac{1}{\sqrt T}\) ，\(\rho \propto \sqrt T\)
6.2.3 电功率与焦耳定律¶
6.3 电源与非静电力，电动势¶
在电源中有一个非静电力，亦\(\vec K\)表示作用在单位正电荷上的非静电力，根据欧姆定律 \(\vec j=\sigma(\vec K+\vec E)\)，这里的\(\vec E\) 指的是电源内部的电场
电动势：
\[
\varepsilon=\int_-^+\vec K\cdot \text{d}\vec l
\]
电动势与电压的区别
电动势是表示电源把其他形式的能转化为电能的本领大小的物理量，它通常用字母 \(E\) 表示。电动势的定义式为：\(E=W/q\)，其中 \(W\) 表示非静电力所做的功，\(q\) 表示通过的电荷量。电动势的单位与电压单位相同，都是伏特（V）。
电压则是指电场中任意两点间的电势差，通常用字母 \(U\) 表示。电压的定义式为：\(U=W/q\)，其中W表示电场力所做的功，\(q\) 表示通过的电荷量。电压的单位也是伏特（V）。
电源的路端电压：静电场把单位正电荷从正极移到负极所做功
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