5 电容器与电介质¶

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5.1 电容器¶

电容器是一种装置，其目的是储存电能，然后在短时间内以可控的方式释放电能。常见的应用有闪光灯（先充电然后在很短的时间内放电）激光脉冲等等。

电容定义为 \(C=\frac{q}{\triangle V}\)（电容的定义是电容器的一个导体上的电荷与导体之间的电位差之比。）

5.1.1 平行板电容器¶

5.1.2 圆柱形电容器¶

5.1.3 球形电容器¶

当 \(b\rightarrow +\infty\) 时， \(C=4\pi\epsilon_0a\)

5.1.4 电容的串并联¶

并联: \(C=C_1+C_2\)

串联: \(\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\)

5.1.5 电容器储存的能量¶

相应的U就表示为\(U=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}CV^2\)

能量被储存在电场中

这个公式是通用的，比如用圆柱形来验证一下

5.2 电介质¶

——电场中的绝缘体

材料的介电常数（介电常数）是指有介电时的电容与没有介电时的电容之比：\(C=\kappa_eC_0\)

如何宏观理解电容的增加？

如果加入的是导体，那么导体内部是没有电场，可以看成两个电容并联

\[ \begin{aligned} &C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d_1}\\ &C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d_2}\\ &C = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d_1} + \frac{\varepsilon_0 A}{d_2} > \frac{\varepsilon_0 A}{d}\\ &(d_1 + d_2 < d) \end{aligned} \]

如果加入的是电介质，那么此时电介质会被极化

\[ \begin{aligned} V=Ed=(E_0-E')d<E_0d\\ C=\frac{q}{Ed}=\frac{q}{(E_0-E')d}>C_0 \end{aligned} \]

5.3 极化的微观机理¶

电介质分为无极分子电介质和有极分子电介质

无极分子电介质比如说\(H_2,N_2,CCl_4,CO_2\), 电偶极矩为0
有极分子电介质比如说，电偶极矩不为0

5.3.1 无极分子电介质¶

施加外电场后，每一个分子的正负电荷中心错开了，变成了一个电偶极子，这种在外电场作用下产生的电偶极矩被称为感生电偶极矩，每个电偶极子沿外电场方向形成一条条 “链子”，这样对于均匀电介质来说，其内部各处仍是中性的，但在与外电场处置的两个端面上就会出现正负电荷，这就是极化电荷。

极化电荷与导体中的自由电荷并不相同，他们不能离开电介质而转移到其他带电体上，也不能在电介质内部自由移动。

由于电子的质量比原子核小得多，所以在外场作用下主要是电子位移，被成为电子位移极化。

5.3.2 极性分子电介质¶

在没有外界施加电场的情况下，由于分子的热运动，所有分子的固有电矩的矢量和为0。现在加上外电场，每个分子电矩都受到力矩的作用，但由于分子热运动，转向并不完全，电场越强，分子偶极子排列越整齐。不管如何，在垂直于电场方向的两端面会有极化电荷，这种极化机制被称为取向极化。

注意：电子位移极化在任何电介质中都存在，而分子取向极化只有由极性分子构成的电介质才会产生。在一般情况下取向极化的效应比位移极化强得多，但是在高频电场下分子惯性较大，取向极化跟不上电场的变化，所以无论那种电介质在高频电场下均只有电子位移极化机制起作用。

5.3.3 极化强度矢量 P¶

单位体积内的电矩矢量和，用于量化电介质的极化状态

\[ P=\frac{\sum p_{分子}}{\triangle V} \]

如果电介质中的各点的极化强度矢量大小和方向都相同，那么称极化是均匀的，否则极化不均匀。然后我们下面讨论的都是均匀极化的情况。

我们取任意闭合面S，令n为它的外法向矢量，\(\text{d}S\)=\(n\text{d}S\)，则\(P\)通过整个闭曲面S的通量应等于因极化而穿出此面的束缚电荷总量，根据电荷守恒定律，这等于S面内净余的极化电荷\(\sum q'\)的负值

\[ \iint_{闭合曲面S} P\cdot \text{d}S=-\sum_{S_内}q' \]

5.3.4 退极化场¶

极化电荷在周围空间产生附加的电场\(E'\)，然后根据场强叠加原理，在电介质存在时，空间上任意一点的场强\(E\)是外电场\(E_0\)和极化电荷的电场\(E'\)的矢量和。

一般说来，\(E'\)的大小和方向都是逐点变化的。例如，我们把一个均匀的电介质球放在均匀外场中极化，介质球上的正、负极化电荷分别分布在两个半球面上。它们产生的附加电场\(E’\)的电场线示于图4-10b，它是一个不均匀的电场。\(E'\)与均匀外电场\(E\)叠加后，得到的总电场示于图4-10c，它也是不均匀的。

在介质球外部，有的地方\(E'\)与\(E_0\)方向一致（如图中左、右两端），这里总电场\(E\)增强了；有的地方\(E'\)与\(E_0\)方向相反（如图中上、下两方），这里总电场\(E\)减弱了；一般情况是 \(E'\)与\(E_0\)成一定夹角，总电场\(E\)的方向逐点不同。

然而，在电介质内部情况是比较简单的，即\(E'\)处处和外电场\(E_0\)的方向相反，其结果是使总电场\(E\)比原来的\(E_0\)减弱。要知道，最终决定介质极化程度的不是原来的外场\(E_0\)，而是电介质内实际的电场\(E\)。\(E\)减弱了，极化强度\(P\)也将减弱。所以极化电荷在介质内部的附加场\(E'\)总是起着减弱极化的作用，故叫做退极化场

如何计算退极化场？一般来说我们先计算极化电荷的分布，然后根据一般的电场的计算公式来做。