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13 光的干涉

文本统计：约 1835 个字

当波长 \(\lambda\) 远小于 \(d\) 时，考虑的是几何光学；

而当波长 \(\lambda\) 与 \(d\) 相近的时候，考虑的是波动光学。

定态光波

定态波：在观测时间中，光源作持续稳定的振荡，波长中各点均以同一频率作稳定的振荡。

实际背景中，时间均为有限的。但当振荡时间 \(t>10^6 ·T\) 远大于光源扰动周期 \(T≈10^{-14} s\)。我们常常选择定态波作为我们的研究对象，其特点：频率单一、振幅稳定。

\[ U(P,t)=A(P)\cos[\omega t-\varphi(P)] \]

其中 \(A(P)\) 和 \(\varphi(P)\) 只是跟空间有关的函数，与时间无关

对于一个定态平面波

\[ \begin{aligned} &\begin{cases} A(P) = \text{constant}, \text{ It is independent of } (x, y, z) \\ \varphi(P) = \vec{k} \cdot \vec{r} + \varphi_0 = k_x x + k_y y + k_z z + \varphi_0 \\ \end{cases}\\ &\text{其中}\quad k = \frac{2\pi}{\lambda}, \quad \vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} \end{aligned} \]

对于一个定态球面波

\[ \begin{cases} A(P) = \frac{a}{r} \\ \varphi(P) = kr + \varphi_0 \end{cases} \]

对于振幅来说，满足能量守恒定律，\(I\propto E_{max}^2\)，\(I\propto \frac1{r^2}\)，从而的得到振幅应与距离呈反比

我们还可以将波方程用复数形式描述

一般波方程可以用余弦形式和指数形式表示：

\[ U(P, t) = A(P) \cos[\omega t - \varphi(P)] \]

使用欧拉公式可以改写为：

\[ U(P, t) = A(P) e^{i[\omega t - \varphi(P)]} \]

选择负号时，方程变为：

\[ U(P, t) = A(P) e^{i[\varphi(P) - \omega t]} = A(P) e^{i\varphi(P)} e^{-i\omega t} \]

其中，\(A(P) e^{i\varphi(P)}\) 表示复振幅。

对于平面波，波方程为：

\[ U(P) = A e^{i\varphi(P)} = A e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} + \varphi_0)} = A e^{i(k_x x + k_y y + k_z z + \varphi_0)} \]
  • \(\vec{k}\) 是波矢量，\(\vec{r}\) 是位置矢量，\(\varphi_0\) 是初始相位。

对于球面波，波方程为：

\[ U(P) = \frac{a}{r} e^{i(kr + \varphi_0)} \]
  • \(r\) 是从波源到点 $ P $ 的径向距离，\(k\) 是波数，\(\varphi_0\) 是初始相位，\(a\) 是与振幅相关的常数。

波的叠加与干涉

\[ \begin{aligned} \tilde{U}_1(P, t) &= A_1 e^{i\varphi_1(P)} e^{-i\omega t}\\ \tilde{U}_2(P, t) &= A_2 e^{i\varphi_2(P)} e^{-i\omega t}\\ \tilde{U}(P, t) &= \tilde{U}_1(P, t) + \tilde{U}_2(P, t) =A_1 e^{i\varphi_1(P)} e^{-i\omega t}+A_2 e^{i\varphi_2(P)} e^{-i\omega t} \end{aligned} \]

从而得到

\[ \begin{aligned} I(P,t)&=\tilde{U}^*(P, t)\cdot \tilde{U}(P, t)\\ &=(A_1 e^{-i\varphi_1(P)} e^{i\omega t}+A_2 e^{-i\varphi_2(P)} e^{i\omega t})(A_1 e^{i\varphi_1(P)} e^{-i\omega t}+A_2e^{i\varphi_2(P)} e^{-i\omega t})\\ &=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos[(\varphi_1-\varphi_2)-(\omega_1-\omega_2)t] \end{aligned} \]

产生干涉的条件

（1）\(\omega_1=\omega_1=\omega\)

（2）\(\vec U_1||\vec U_2\)

（3）\(\varphi_1(P)-\varphi_2(P)\) 稳定

杨氏双缝干涉

英国物理学者托马斯·杨于1801年做实验演示光的干涉演示，称为杨氏双缝实验。这实验对于光波动说给出有力支持，由于实验观测到的干涉条纹是艾萨克·牛顿所代表的光微粒说无法解释的现象，双缝实验使大多数的物理学家从此逐渐接受了光波动说。杨氏双缝的实验设置如右图所示，从一个点光源出射的单色波传播到一面有两条狭缝的挡板，两条狭缝到点光源的距离相等，并且两条狭缝间的距离很小。由于点光源到这两条狭缝的距离相等，这两条狭缝就成为了同相位的次级单色点光源，从它们出射的相干光发生干涉，因此可以在远距离的屏上得到干涉条纹

如果两条狭缝之间的距离为 \(a\)，狭缝到观察屏的垂直距离为 \(d\)，则根据几何关系，在观察屏上以对称中心点为原点，坐标为 \((x,y)\) 处两束相干光的光程分别为

\[ \begin{aligned} L_1=\sqrt{d^2+y^2+(x-\frac a2)^2}\\ L_2=\sqrt{d^2+y^2+(x+\frac a2)^2} \end{aligned} \]

当狭缝到观察屏的垂直距离 \(d\) 远大于 \(x\) 时，这两条光路长度的差值可以近似在图上表示为：从狭缝1向光程2作垂线所构成的直角三角形中，角 \(α′\) 所对的直角边 \(Δs\)。而根据几何近似，这段差值为

\[ \Delta s=a\sin\alpha'\approx a\frac xd \]

如果实验在真空或空气中进行，则认为介质折射率等于1，从而有光程差 \(ΔL=Δs=a\frac xd\)，相位差\(δ=\frac{2π}{λ}\frac{ax}{d}\)。

(1) 当相位差 \(\delta\) 等于 \(2mπ,|m|=0,1,2,...\) 时光强有极大值，从而当 \(x=\frac{mdλ}{a},|m|=0,1,2,...\) 时有极大值；

(2) 当相位差 \(\delta\) 等于 \((2m+1)π,|m|=0,1,2,...\) 时光强有极小值，从而当 \(x=\frac{(2m+1)dλ}{2a},|m|=\frac12,\frac32,\frac52,...\) 时有极大值

从而杨氏双缝干涉会形成等间距的明暗交替条纹，间隔为 \(\frac{dλ}{a}\)

薄膜干涉

考虑一个均匀的厚度为 \(L\) ，折射率为 \(n_2\) 的薄透膜，被一个无穷远处的波长为 \(\lambda\) 的光照射。我们设光几乎是垂直地打在薄膜上，需要判断对于几乎垂直看向薄膜的人来说薄膜是亮的还是暗的。

半波损失

在界面处的反射会引起相位的变化，这取决于界面两侧的折射率

从折射率低的介质射入折射率高的介质的反射会有半波损失，而从折射率高的介质射入折射率低的介质的反射没有半波损失

折射不会发生半波损失

对于光线 \(r_1\) 来说，会有半波损失，而对于光线 \(r_2\) 来说则没有这样的损失。从而 \(r_1\) 与 \(r_2\) 的光程差 \(\delta\) 为 \(2n_2L\)

从而干涉加强的情况为

\[ 2n_2L+\frac12\lambda=m\lambda\quad m\in Z^+ \]

干涉减弱的情况是为

\[ 2n_2L+\frac12\lambda=(m+\frac12)\lambda\quad m\in Z^+ \]

而对于薄膜的厚度相对于光的波长太小的情况 (\(L<0.1\lambda\))，这样的话 \(2L\) 便可以被忽略，这样光线 \(r_1\) 和 \(r_2\) 之间的相位差仅仅来源于半波损失。

所以此时薄膜是暗的，这与光的波长和强度都无关。

牛顿环

直接套用刚刚的光程差公式，\(\delta = 2nd\)。但是这时候有一个问题间距在变，这个d不是一个线性变化的。假设一点距离O点的水平距离是r。此时根据几何，易知 \(d = R - \sqrt{R^2 - r^2}\)

依旧可以得到

  • 光程差：\(\delta = 2nd = 2n(R - \sqrt{R^2 - r^2})\)
  • 干涉加强（明条纹）：\(\delta + \frac{\lambda}{2} = k\lambda, \quad k \in Z^+\)
  • 干涉减弱（暗条纹）：\(\delta + \frac{\lambda}{2} = (2k + 1)\frac{\lambda}{2}, \quad k \in Z^+\)

那么可以进一步解出明条纹和暗条纹的半径是：

  • 干涉加强（明环）：\(r = \sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2n}}, \quad k \in Z^+\)
  • 干涉减弱（暗环）：\(r = \sqrt{\frac{kR\lambda}{n}}, \quad k \in N\)

观察公式我们就可以知道牛顿环的半径不是等差的，之间有根号的关系。满足内疏外密

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大物学习笔记（二十一）——薄膜干涉 - 知乎

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