12 几何光学
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Geometrical Optics (几何光学): the case in which light travels in straight line and encounters objects whose size is much larger than \(\lambda\).
一些单词：mirrors (反射镜), lenses (透镜), prisms (棱镜)
12.1 几何光学基本知识
12.1.1 几何光学三定律
The law of straight line propagation of light: Light propagates in a straight line in a uniform materials.
The Law of Reflection: The reflected ray lies in the plane of incidence, and \(\theta_r=\theta_I\)
The law of Refraction: The refracted ray lies in the plane of incidence, and \(n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2\)
12.1.2 折射率
根据麦克斯韦方程组推出来的光速为 \(v=\frac{1}{\sqrt{\kappa_e\kappa_m\varepsilon_0\mu_0}}\)
由于对于绝大多数材料 \(\kappa_m\approx1\)，从而 \(v\approx\frac{c}{\sqrt\kappa_e}\)，其中 \(c\) 为真空中的光速
这样我们得到了光在某一物质中的折射率 \(n\approx\sqrt{\kappa_e}\)，这个折射率也与光的频率有关，频率越高折射率越高，频率越低，折射率越低
12.1.3 全反射
从光密介质射入光疏介质，当入射角达到一定值时会发生全反射现象
全反射的一个应用就是光纤
12.1.4 色散
如何测量一个棱镜的折射率？
12.2 惠更斯原理
每个波面上的点都可以被视为新的“次波源”，这些次波源向前传播的波动会形成新的波面。简单来说，波面并不是直接前进的，而是由无数微小的次波叠加形成的。
用惠更斯原理解释光的折射定律，可以参考这篇文章【高中物理】浅谈光的折射定律 - 知乎
12.3 费马原理
光程 (The Optical Path Length) 定义为从一点到另一点的等效光在真空中走的距离
\[
\int_{\text{start}}^{\text{finish}}n\text{d}l
\]
从一个固定点 (Q) 到另一个固定点 (P) 的光线所遵循的路径，与附近的路径相比，所需的时间要么是最小的，要么是最大的，要么保持不变。（这是静止的）
\[
\delta(QP)=\delta(\int_Q^Pn\text{d}l)=0
\]
我们根据费马原理验证光的反射和折射定律
\[
\begin{aligned}
&L = \sqrt{a^2 + x^2} + \sqrt{b^2 + (d - x)^2}\\
&\frac{dL}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2(d - x)}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}} = 0\\
&\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \frac{(d - x)}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}\\
&\sin \theta_1 = \sin \theta_1' \quad \theta_1 = \theta_1'\\
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
&L = n_1 \sqrt{a^2 + x^2} + n_2 \sqrt{b^2 + (d - x)^2}\\
&\frac{dL}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n_1 \cdot 2x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{n_2 \cdot 2(d - x)}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}} = 0\\
&n_1 \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = n_2 \frac{(d - x)}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}, \quad n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2
\end{aligned}
\]
12.4 球面镜成像
根据正弦定律以及折射定律
\[
\begin{cases}
\frac{p}{\sin \phi} = \frac{o + r}{\sin \theta} = \frac{r}{\sin u}, \\
\frac{p'}{\sin \phi} = \frac{i - r}{\sin \theta'} = \frac{r}{\sin u'}, \\
n \sin \theta = n' \sin \theta', \\
\theta - u = \theta' + u' = \phi.
\end{cases}
\]
根据前三个式子可以推出
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{p}{o + r} &= \frac{\sin \phi}{\sin \theta}, \\
\frac{p'}{i - r} &= \frac{\sin \phi}{\sin \theta'},
\end{aligned}
\right.
\]
\[
\therefore \frac{p}{n(o + r)} = \frac{p'}{n'(i - r)}
\]
再根据余弦定理
\[
\begin{cases}
p^2 = (o + r)^2 + r^2 - 2r(o + r)\cos \phi = o^2 + 4r(o + r)\sin^2 \frac{\phi}{2}, \\
p'^2 = (i - r)^2 + r^2 + 2r(i - r)\cos \phi = i^2 - 4r(i - r)\sin^2 \frac{\phi}{2}.
\end{cases}
\]
上下两个式子分别除以 \(n^2(o+r)^2\) 以及 \(n'^2(i-r)^2\) 得到
\[
\frac{o^2}{n^2(o + r)^2} - \frac{i^2}{n'^2(i - r)^2} = -4r \sin^2 \frac{\phi}{2} \left[ \frac{1}{n^2(o + r)} + \frac{1}{n'^2(i - r)} \right].
\]
我们发现上述公式中，不同的 \(\phi\) 得到不同的 \(i\) ，这样我们就不能成像了。
我们要让 \(i\) 与 \(\phi\) 无关，就需要满足
\[
\begin{cases}
\frac{o^2}{n^2(o + r)^2} - \frac{i^2}{n'^2(i - r)^2} = 0 \\
\frac{1}{n^2(o + r)} + \frac{1}{n'^2(i - r)} = 0
\end{cases}
\]
根据上述公式，\(o\) 和 \(i\) 是同时被确定的，这两组解被称为齐明点
当入射光线很靠近光轴的时候，我们要做旁轴近似，\(h^2<<o^2,i^2,r^2\)
对于旁轴光线，\(sin^2\frac{\theta}{2}\approx(\frac{\theta}{2})\rightarrow0\)，这样相应的公式变为
\[
\begin{align*}
\frac{o^2}{n^2(o + r)^2} &= \frac{i^2}{n'^2(i - r)^2} \\
\frac{n(o + r)}{o} &= \frac{n'(i - r)}{i} \\
\frac{n'}{i} + \frac{n}{o} &= \frac{n' - n}{r}
\end{align*}
\]
对于任意Q点（物体距离 \(o\)），存在图像Q'点（图像距离 \(i\)）。
第一个焦点，物体在这个位置使得像无穷远：\(i\rightarrow\infty,o=f=\frac{n}{n'-n}r\)
第二个焦点，物体在无穷远处像在这个位置：\(o\rightarrow\infty,i=f'=\frac{n'}{n'-n}r\)
\[
\frac{f}{f'}=\frac{n}{n'},\quad\frac{f}{o}+\frac{f'}{i}=1
\]
一些符号约定
如果我们假设入射光从左向右。
(1)If the Q point is at the left of A point (实物) \(o>0\)，If the Q point is at the right of A point (虚物) \(o<0\)
(2) If the Q’ point is at the left of A point (虚像) \(i<0\)，If the Q’ point is at the right of A point (实像) \(i>0\)
(3) If the C point (球心) is at the left of A point (凹)，\(r<0\)，If the C point (球心) is at the right of A point (凸)，\(r>0\)
对于球面反射成像
对于球面反射的情况，定义 \(n'=-n\)
那么 \(f=\frac{n}{n'-n}r=-\frac{r}{2}\)，\(f'=\frac{n'}{n'-n}r=\frac12r\)
这样我们根据前面得到的公式，得到
\[
\begin{align*}
\frac{f}{o} + \frac{f'}{i} &= 1, \\
\frac{\left(-\frac{r}{2}\right)}{o} + \frac{\frac{r}{2}}{i} &= 1\\
\Rightarrow \frac{1}{o} - \frac{1}{i} &= -\frac{2}{r}
\end{align*}
\]
Note
注意一下这里的符号，在这里我与ppt不同的地方是我一直定义 \(i\) 为左负右正，这样我们可以保证公式的连贯性，同时还要注意的一点是这里的折射角定义为负的，同时折射率定义也为负的
旁轴物点成像和横向放大率
符号约定
(4) If P (or P’) is above the light axis, y (or y’)>0，If P (or P’) is below the light axis, y (or y’)<0
我们定义横向放大率 (Lateral magnificaition)
\[
m = \frac{\text{Lateral Size of Image}}{\text{Lateral Size of Object}} = \frac{y'}{y}
\]
\[
\begin{align*}
&\text{Paraxial Ray: } n\theta \approx n'\theta', \quad y \approx o \cdot \theta, \quad -y' = i \cdot \theta' \\
&\therefore m = \frac{y'}{y} = -\frac{i\theta'}{o\theta} = -\frac{n \cdot i}{n' \cdot o}
\end{align*}
\]
对于反射的情况 \(m=\frac{i}{o}\)（注意这里 \(i\) 也是负的）
复杂光路成像
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{n'}{i_1} + \frac{n}{o_1} &= \frac{n' - n}{r_1} \\
\frac{n''}{i_2} + \frac{n'}{o_2} &= \frac{n'' - n'}{r_2} \\
\frac{n'''}{i_3} + \frac{n''}{o_3} &= \frac{n''' - n''}{r_3} \\
\end{aligned}
\right.
\]
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{f_1'}{i_1} + \frac{f_1}{o_1} &= 1 \\
\frac{f_2'}{i_2} + \frac{f_2}{o_2} &= 1 \\
\frac{f_3'}{i_3} + \frac{f_3}{o_3} &= 1 \\
\end{aligned}
\right.
\]
相应的横向放大率为
\[
\begin{aligned}
m_1 &= -\frac{n i_1}{n' o_1} \\
m_2 &= -\frac{n' i_2}{n'' o_2} \\
m_3 &= -\frac{n'' i_3}{n''' o_3} \\
\end{aligned}
\]
关于角度，我们可以近似计算
\[
\begin{aligned}
u &\approx \frac{h}{QA_1} = \frac{h}{o_1} \\
-u' &= \frac{h}{A_1Q'} = \frac{h}{i_1} \\
\therefore \frac{u}{u'} &= -\frac{i_1}{o_1} \\
\end{aligned}
\]
从而得到
\[
m = -\frac{n i}{n' o}= \frac{n u}{n' u'}
\]
我们就可以发现
\[
ynu=y'n'u'=y''n''u''=...
\]
上述定理称为 Lagrange-Helmholtz Law
12.5 薄透镜成像
\[
\begin{cases}
\frac{f_1'}{i_1} + \frac{f_1}{o_1} = 1 \\
\frac{f_2'}{i_2} + \frac{f_2}{o_2} = 1
\end{cases}
\]
我们将 \(-o_2\) 近似为 \(i_1\)
\[
\begin{cases}
\frac{f_1' f_2}{i_1} + \frac{f_1 f_2}{o_1} = f_2\\
\frac{f_1' f_2'}{i_2} + \frac{f_1' f_2}{-i_1} = f_1'
\end{cases}
\]
进而得到
\[
\frac{f_1' f_2'}{i_2} + \frac{f_1 f_2}{o_1} = f_1' + f_2
\]
\[
\frac{f_1' f_2'}{i} + \frac{f_1 f_2}{o} = f_1' + f_2
\]
对上述公式进行换元，得到
\[
\frac{f'}{i}+\frac{f}{o}=1
\]
其中
\[
\begin{align*}
f' &= \frac{f_1' f_2'}{f_1' + f_2} = \frac{\frac{n_L}{n_L - n} \cdot \frac{n'}{n' - n_L} r_1 r_2}{\frac{n_L}{n_L - n} r_1 + \frac{n_L}{n' - n_L} r_2} = \frac{n'}{\frac{n_L - n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2}} \\
f &= \frac{f_1 f_2}{f_1' + f_2} = \frac{\frac{n}{n_L - n} \cdot \frac{n_L}{n' - n_L} r_1 r_2}{\frac{n_L}{n_L - n} r_1 + \frac{n_L}{n' - n_L} r_2} = \frac{n}{\frac{n_L - n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2}}
\end{align*}
\]
故 \(\frac{f'}{f}=\frac{n'}{n}\)，当 \(n=n'=1\)时，我们得到
\[
f = f' = \frac{1}{(n_L - 1) \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)}
\]
我们称上述公式为 Lens maker’s Equation (磨镜者公式)
If \(f>0, f’>0\) Converging Lens (凸透镜): A lens that is thicker at the center than at the edges.
If \(f<0, f’<0\) Diverging Lens (凹透镜): A lens that is thicker at the edges than at the center.
Additional Notes: If \(n = n'\), \(f = f'\)
得到 Gauss' Form
\[
\frac{1}{i} + \frac{1}{o} = \frac{1}{f}
\]
Sign Convention
- If \(Q\) is at the left of \(F\) point, \(x > 0\)
- If \(Q\) is at the right of \(F\) point, \(x < 0\)
- If \(Q'\) is at the left of \(F'\) point, \(x' < 0\)
- If \(Q'\) is at the right of \(F'\) point, \(x' > 0\)
\[
\begin{aligned}
&o = f + x\\
&i = f' + x'\\
&\frac{1}{f + x} + \frac{1}{f' + x'} = \frac{1}{f}\\
\end{aligned}
\]
得到 Newton's Form (注意 \(f=f'\))
\[
xx' = f^2 = ff'
\]
横向放大倍数
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