11 电磁波与光波
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11.1 电磁波谱
Visible Light (可见光)：波长在 \(400 nm-700 nm\) 之间，当原子中的外层电子（价电子）改变运动状态时，就会发出光。研究太阳和遥远恒星发出的光，可以得到有关它们组成的信息。
Infrared (红外线)：波长在 \(0.7\mu m-1mm\) 之间，当原子或分子改变旋转或振动运动时，通常会发出红外线。所有物体都因其温度（3 K-3000 K）而发出电磁辐射。应用有夜视镜，辐射温度计，红外灯。
Microwaves (微波)：波长在 \(1mm-1m\) 之间 ，它们通常由电路中的电磁振荡器产生。
Radio waves (无线电波)：波长大于 \(1m\)
Ultraviolet (紫外线)：波长在 \(1nm-400nm\)，太阳光中有很多紫外线，大多被大气中臭氧层被吸收
X rays：波长在 \(0.01nm-10nm\)，X射线可以在原子内部电子之间产生具有离散波长的单个跃迁，或者当带电粒子减速时产生。
\(\gamma\) rays：波长小于 \(10pm\)，这些辐射可以在原子核从一种状态到另一种状态的转变中发出，也可以发生在某些基本粒子的衰变中。
11.2 电磁波的产生与传播
我们通过 LCR 电路发射电磁波，这需要两个条件
\[
\frac{\text{d}W}{\text{d}t}\propto f^4,f>10^5Hz
\]
由于 \(f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{\sqrt{LC}}\)，所以 L 和 C 都要非常的小
电磁波的传播不需要任何介质，由于变化的磁场可以产生涡旋电场，变化的电场可以产生涡旋磁场，从而电磁波可以这样传递下去
11.3 电磁波的性质
在远离波源的地方，我们通过麦克斯韦方程组得到五条性质
-
电磁波是横波，\(\vec E\) 和 \(\vec H\) 均与传播方向垂直
-
\(\vec E\bot \vec H\)
-
\(E\) 和 \(H\) 是同相的
-
三个矢量构成右旋系
- 电磁波传播的速度为
\[
v=\frac{1}{\sqrt{\kappa_e\varepsilon_0\kappa_m\mu_0}}
\]
下面我们开始推导上述性质
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\nabla\cdot \vec D=\rho_{e0}\\
&\nabla\cdot \vec B=0\\
&\nabla\times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}\\
&\nabla \times \vec H=\vec j_0+\frac{\partial \vec D}{\partial t}
\end{aligned}
\right.
\]
In freespace，我们假设 \(\rho_{e0}=0,\vec j_0=0\)，那么方程变为（同时用\(\vec E\) 和 \(\vec H\) 换掉第一个式子中的 \(\vec D\) 和第二个式子中的 \(\vec B\)）
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\nabla\cdot \vec E=0\\
&\nabla\cdot \vec H=0\\
&\nabla\times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}=-\kappa_m\mu_0\frac{\partial \vec H}{\partial t}\\
&\nabla \times \vec H=\frac{\partial \vec D}{\partial t}=\kappa_e\varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}
\end{aligned}
\right.
\]
将 \(\nabla\) 展开，得到
\[
\left\{
\begin{aligned}
& \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0 \\
& \begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x & E_y & E_z
\end{vmatrix}
= -\kappa_m \mu_0 \left( \frac{\partial H_x}{\partial t}\vec i + \frac{\partial H_y}{\partial t}\vec j + \frac{\partial H_z}{\partial t}\vec k \right) \\
& \frac{\partial H_x}{\partial x} + \frac{\partial H_y}{\partial y} + \frac{\partial H_z}{\partial z} = 0 \\
& \begin{vmatrix}
\vec i & \vec j &\vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
H_x & H_y & H_z
\end{vmatrix}
= \kappa_e \varepsilon_0 \left( \frac{\partial E_x}{\partial t}\vec i + \frac{\partial E_y}{\partial t} \vec j + \frac{\partial E_z}{\partial t}\vec k \right)
\end{aligned}
\right.
\]
再将矩阵打开，我们得到
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0 ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\\
&\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} = -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_x}{\partial t} ~~~~~~~~~~~~~~(2-1)\\
&\frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} = -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_y}{\partial t} ~~~~~~~~~~~~~~(2-2)\\
&\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} = -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_z}{\partial t} ~~~~~~~~~~~~~~(2-3)\\
&\frac{\partial H_x}{\partial x} + \frac{\partial H_y}{\partial y} + \frac{\partial H_z}{\partial z} = 0 ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)\\
&\frac{\partial H_z}{\partial y} - \frac{\partial H_y}{\partial z} = \kappa_e \varepsilon_0 \frac{\partial E_x}{\partial t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4-1)\\
&\frac{\partial H_x}{\partial z} - \frac{\partial H_z}{\partial x} = \kappa_e \varepsilon_0 \frac{\partial E_y}{\partial t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4-2)\\
&\frac{\partial H_y}{\partial x} - \frac{\partial H_x}{\partial y} = \kappa_e \varepsilon_0 \frac{\partial E_z}{\partial t}~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4-3)
\end{aligned}
\right.
\]
我们设电磁波沿z轴传播，则波面垂直于 \(z\) 轴。在波面上相位相同，即相位与 \(x,y\) 变量无关，为简单起见，我们假设振幅也与 \(x,y\) 无关，这样上式所有关于 \(x,y\) 的偏微分全部等于0，于是可以将 (1) (2-3) (3) (4-3) 化简为
\[
\frac{\partial E_z}{\partial z}=0,\ \frac{\partial H_z}{\partial t}=0,\ \frac{\partial H_z}{\partial z}=0,\ \frac{\partial E_z}{\partial t}=0
\]
上式表明，电场矢量与磁场矢量沿波长传播方向的分量 \(E_z\) 和 \(H_z\) 是与时空变量无关的变量，它们与我们这里考虑的电磁波无关，可以假定 \(E_z=0,H_z=0\)，从而我们得到电磁波是横波
我们将式子化简为
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial E_y}{\partial z} &= \kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_x}{\partial t} ~~~~~~~~~(2-1')\\
\frac{\partial E_x}{\partial z} &= -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_y}{\partial t} ~~~~~~(2-2')\\
\frac{\partial H_y}{\partial z} &= -\kappa_e \varepsilon_0 \frac{\partial E_x}{\partial t}~~~~~~~~(4-1') \\
\frac{\partial H_x}{\partial z} &= \kappa_e \varepsilon_0 \frac{\partial E_y}{\partial t}~~~~~~~~~~~(4-2')
\end{aligned}
\right.
\]
由于我们之前取坐标的时候对 \(x,y\) 轴在波面内的取向并未作任何具体规定，我们取 \(x\) 轴沿 \(E\) 矢量方向，那么 \(E_y=0\)，从而我们可以从(2-1’)(4-2’) 得出
\[
\frac{\partial H_x}{\partial t}=0,\frac{\partial H_x}{\partial x}=0
\]
从而 \(H_x\) 分量也是一个与任何时空变量无关的常量，这分量也与电磁波无关，于是我们也可以设其为0，\(H_x=0\)，故我们得出了第二个特性：电场矢量和磁场矢量彼此垂直，这样我们得出电场矢量磁场矢量传播方向两两垂直。
从而我们只剩下剩余两个公式（我们把下角标去掉了）【1】
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial E_x}{\partial z} &= -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_y}{\partial t}\\
\frac{\partial H_y}{\partial z} &= -\kappa_e \varepsilon_0 \frac{\partial E_x}{\partial t}\\
\end{aligned}
\right.
\]
对其中一个式子对 \(z\) 取偏微商，用另一个式子消去，可以得到 【2】
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} - \kappa_e \varepsilon_0 \kappa_m \mu_0 \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} &= 0 \\
\frac{\partial^2 H_y}{\partial z^2} - \kappa_e \varepsilon_0 \kappa_m \mu_0 \frac{\partial^2 H_y}{\partial t^2} &= 0
\end{aligned}
\right.
\]
从而我们可以设 \(E,H\) 为沿 \(z\) 方向的传播的简谐波【3】
\[
\left\{
\begin{aligned}
E_x &= E_{x_0} e^{i(\omega t - kz)} \\
H_y &= H_{y_0} e^{i(\omega t - kz)}
\end{aligned}
\right.
\]
其中 \(\omega\) 和 \(k\) 为角频率和波数，满足 \(\omega=\frac{2\pi}{T}\) 和 \(k=\frac{2\pi}{\lambda}\)，相应的波速为 \(\frac{\omega}{k}\)
将简谐波的方程带入上式可得
\[
k^2=\kappa_e \varepsilon_0 \kappa_m \mu_0\omega^2
\]
从而光速就可以推导出来
\[
v=\frac{\omega}{k}=\frac{1}{\sqrt{\kappa_e \varepsilon_0 \kappa_m \mu_0}}
\]
在真空中，\(\kappa_e,\kappa_m\) 均为1，从而光速为 \(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\)
我们再把【3】带入【1】可以得到
\[
\begin{aligned}
-i k E_{x_0} e^{i(\alpha t-kz)} &= -\kappa_m \mu_0 i \omega H_{y_0} e^{i(\omega t-kz)} \\
k E_{x_0} &= \kappa_m \mu_0 \omega H_{y_0} \\
\sqrt{k E_{x_0}} &= \sqrt{\kappa_m \mu_0 \omega H_{y_0}} \\
E_{x_0} &= \kappa_m \mu_0 \frac{\omega}{k} H_{y_0} = \kappa_m \mu_0 v H_{y_0} \\
\sqrt{\kappa_m \mu_0 \kappa_e \varepsilon_0} E_{x_0} &= \sqrt{\kappa_m \mu_0 \kappa_e \varepsilon_0} H_{y_0} \\
\sqrt{\kappa_e \varepsilon_0} E_{x_0} &= \sqrt{\kappa_m \mu_0} H_{y_0} \\
\sqrt{\kappa_e \varepsilon_0} E_0 e^{i\varphi_E} &= \sqrt{\kappa_m \mu_0} H_0 e^{i\varphi_H}
\end{aligned}
\]
从而我们得出
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\sqrt{\kappa_e \varepsilon_0} E_0 = \sqrt{\kappa_m \mu_0} H_0 \\
&\varphi_E = \varphi_H
\end{aligned}
\right.
\]
因为我们是按照右旋系标定 \(E,H,\hat k\) 三个矢量的取向的，\(\varphi_E=\varphi_H\) 意味着 \(E\) 和 \(H\) 永远同号，即任何时间任何地点，三个矢量都构成右旋系
11.4 电磁波的能流密度和动量
在空间中任取一个空间，体积为 \(V\)，表面积为 \(A\)，从而体积 \(V\) 中的电磁能为
\[
U=U_E+U_B=\iiint (\frac12\vec D\cdot\vec E+\frac12\vec B\cdot\vec H)\text{d}v
\]
在非恒定的情况下，各场量随时间变化
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}U}{\text{d}t} &= \frac{\text{d}}{\text{d}t} \iiint \left( \frac{1}{2} \vec{D} \cdot \vec{E} + \frac{1}{2} \vec{B} \cdot \vec{H} \right) \text{d}v \\
&= \frac{1}{2} \iiint \frac{\partial}{\partial t} \left( \vec{D} \cdot \vec{E} + \vec{B} \cdot \vec{H} \right) \text{d}v
\end{split}
\]
由于 \(D=\kappa_e\varepsilon_0E,B=\kappa_m\mu_0H\) ,从而我们得到
\[
\begin{split}
\frac{\partial}{\partial t} ( \vec{D} \bullet \vec{E} + \vec{B} \bullet \vec{H} ) &= \kappa_e \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} ( \vec{E} \bullet \vec{E} ) + \kappa_m \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} ( \vec{H} \bullet \vec{H} ) \\
&= 2 \kappa_e \varepsilon_0 \vec{E} \bullet \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + 2 \kappa_m \mu_0 \vec{H} \bullet \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \\
&= 2 \vec{E} \bullet \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + 2 \vec{H} \bullet \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
\end{split}
\]
根据麦克斯韦方程组
\[
\left\{
\begin{align*}
\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} &= \nabla \times \vec{H} - j_0 \\
\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} &= -\nabla \times \vec{E}
\end{align*}
\right.
\]
带入上式
\[
\begin{align*}
&= 2 \vec{E} \bullet (\nabla \times \vec{H} - j_0) - 2 \vec{H} \bullet (\nabla \times \vec{E}) \\
&= 2 [\vec{E} \bullet (\nabla \times \vec{H}) - \vec{H} \bullet (\nabla \times \vec{E}) - j_0 \bullet \vec{E}] \\
&= -2 \nabla \bullet (\vec{E} \times \vec{H}) - 2 j_0 \bullet \vec{E}
\end{align*}
\]
从而
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}U}{\text{d}t} &= - \iiint \nabla \bullet (\vec{E} \times \vec{H}) \text{d}v - \iiint (j_0 \bullet \vec{E}) \text{d}v \\
&= - \iint_{闭合曲面} (\vec{E} \times \vec{H}) \bullet \text{d}A - \iiint (j_0 \bullet \vec{E}) \text{d}v
\end{split}
\]
针对上式第二项的内容，我们应用欧姆定律 \(\vec j_0=\sigma(\vec E+\vec K)\)，对某一个体积元如下图处理
\[
\begin{split}
\iiint (j_0 \bullet \vec{E}) dv &= (j_0 \bullet \vec{E}) \Delta A \cdot \Delta l \\
&= j_0 \bullet (\rho j_0 - K) \Delta A \cdot \Delta l \\
&= \rho j_0^2 \Delta A \cdot \Delta l - j_0 \bullet K \Delta A \cdot \Delta l \\
&= R i_0^2 - i_0 \Delta \varepsilon\\
&=Q-P
\end{split}
\]
上式的前一项代表的是单位时间产生的焦耳热，后面那项则是非静电力做的功。
对于第一项的内容，我们引入一个新的矢量 \(\vec S=\vec E\times \vec H\)，被称为 Poynting Vector
\[
\frac{\text{d}U}{\text{d}t}=-\iint_{闭合曲面}\vec S\bullet \text{d}\vec A-Q+P
\]
从能量守恒的角度来看，这面积分代表单位时间从体积 V 中的表面流出的电磁能量（叫做电磁能流），那么 Poynting Vector 的方向就代表电磁能传递的方向，其大小代表单位时间流过与之垂直的的单位面积的电磁能量，\(S\) 代表电磁能流密度矢量，由电磁波构成右旋系可以得出，\(S\) 的方向总是沿着电磁波的传播方向的。
上述 \(S\) 代表的是瞬时能流密度，在实际中重要的是一个周期内的平均值，即电磁波的平均能流密度
\[
I=<S>=\frac{<E^2>}{\mu_0c}=\frac{E_{max}^2}{\mu_0c}<\sin^2(kz-\omega t)>=\frac12 \frac{E_{max}^2}{\mu_0c}
\]
(在真空中，电磁波的 \(B\) 和 \(E\) 满足 \(E=Bc\))
Example
直流电路中的能量传播
11.5 电磁场的动量与光压
一列平面电磁波垂直地射在一块金属板上，表面附近的自由电子将在电场的作用下沿x方向往复运动，产生传导电流 \(j_0\)，由于电子的运动方向与磁场垂直，会受到一个洛伦兹力 \(F\)，\(F\) 沿着 \(j_0\times H\) 的方向，由于 \(j_0=\sigma E\)，故 \(F\) 沿着 \(E\times H\) 的方向。于是在电磁波的作用下，金属板受到一个朝 \(z\) 方向的压力，获得一定的动量，那么这个动量我们认为是电磁波带来的。
金属板上单位面积 \(\Delta A\) 上受到的力（用能量建立等式）
\[
\begin{aligned}
&\Delta \vec F\cdot c\Delta t=(\vec S_{in}-\vec S_{ref})\Delta A\cdot \Delta t\\
&\Delta\vec F=\frac1c(\vec S_{in}-\vec S_{ref})\Delta A
\end{aligned}
\]
由于 \(\vec S_{in}，\vec S_{ref}\) 方向相反，从而金属板受到的压强为
\[
P=\frac{|\Delta \vec F|}{\Delta A}=\frac1c(|\vec S_{in}|+|\vec S_{ref}|)
\]
一段时间内金属板上受到的冲量为
\[
\Delta\vec G_P=\Delta\vec F\cdot \Delta t=\frac1c(\vec S_{in}-\vec S_{out})\Delta A\cdot \Delta t
\]
电磁波的动量变化量为
\[
\Delta\vec G=-\Delta\vec G_P=\frac1c(\vec S_{out}-\vec S_{in})\Delta A\cdot \Delta t
\]
我们认为这期间共有 \(\Delta A\cdot c\Delta t\) 的电磁波发生了反射，并改变了动量 \(\Delta G\)，令 \(g\) 代表单位体积电磁波的动量，则反射过程中电磁波的动量密度改变量为
\[
\Delta g=\frac{\Delta G}{\Delta V}=\frac1{c^2}(\vec S_{out}-\vec S_{in})
\]
这样我们就可定义电磁波动量密度为
\[
g=\frac1{c^2}S=\frac1{c^2}\vec E\times \vec H
\]
Example
11.6 光波的多普勒效应
我们在普物1中学习了声波的多普勒效应
- Sound wave, observer fixed, source moving away
\[
f=f_0\frac{1}{1+u/v}
\]
- Sound wave, source fixed, observer moving away
\[
f=f_0(1-u/v)
\]
光波的多普勒效应来源于相对论效应，经过洛伦兹变换等复杂的推导过程，我们得到以下公式
\[
f=f_0\frac{\sqrt{1-u^2/c^2}}{1+\frac{u}{c}\cos\theta}
\]
其中 \(u\) 代表光源相对于观测者的运动速度，\(f_0\) 代表光源本身的频率，\(f\) 代表观测者观测到的频率，\(\theta\) 代表光的传播方向与光源运动方向的夹角。
- 横向多普勒效应，光源的运动方向与光的发射方向垂直，得到
\[
f=f_0\sqrt{1-u^2/c^2}
\]
导致了光的 ”红移“ 现象
如果光源的运动方向与光的发射方向相反，得到
\[
f=f_0\sqrt{\frac{1+u/c}{1-u/c}}
\]
如果光源的运动方向与光的发射方向相同，得到
\[
f=f_0\sqrt{\frac{1-u/c}{1+u/c}}
\]
Example
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