10 麦克斯韦方程组

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根据前几章的内容，我们得到了以下公式

在真空中，我们有

\[ \begin{aligned} &电场高斯定律：\iint_{闭合曲面}\vec E \cdot \text{d}\vec A=\frac{q_0}{\varepsilon_0}\\ &磁场高斯定律：\iint_{闭合曲面}\vec B \cdot \text{d}\vec A=0\\ &法拉第电磁感应定律：\oint\vec E\cdot \text{d}\vec l=-\frac{\text{d}\Phi_B}{\text{d}t}=-\iint\frac{\partial \vec B}{\partial t}\cdot \text{d}\vec A\\ &安培环路定律：\oint\vec B\cdot \text{d}\vec l=\mu_0i \end{aligned} \]

在电介质和磁介质中，

\[ \left\{ \begin{aligned} &\iint_{闭合曲面}\vec D \cdot \text{d}\vec A=q_0\\ &\iint_{闭合曲面}\vec B \cdot \text{d}\vec A=0\\ &\oint\vec E\cdot d\vec l=-\frac{\text{d}\Phi_B}{\text{d}t}=-\iint\frac{\partial \vec B}{\partial t}\cdot \text{d}\vec A\\ &\oint\vec H\cdot \text{d}\vec l=i=\iint\vec j\cdot \text{d}\vec A \end{aligned}\right. \]

微分形式：

\[ \left\{ \begin{aligned} &\nabla\cdot \vec D=\rho_{e0}\\ &\nabla\cdot \vec B=0\\ &\nabla\times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}\\ &\nabla \times \vec H=\vec j_0 \end{aligned} \right. \]

Note

\(\nabla\) 算子为 \((\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})\)

既然变化的磁场会产生涡旋电场，那么变化的电场是否会产生相应的磁场呢？上述公式在面对非恒定电流的情况时，出现了矛盾，于是麦克斯韦提出了”位移电流“的假设。

在非恒定电流条件下，

\[ \iint_{闭合曲面}\vec j_0\cdot \text{d}\vec S=-\frac{\text{d}q_0}{\text{d}t} \]

这里的 \(q_0\) 就是积累在S面内的自由电荷。

根据 \(\iint_{闭合曲面}\vec D \cdot d\vec S=q_0\)，可得

\[ \frac{\text{d}q_0}{\text{d}t}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\iint_{闭合曲面}\vec D \cdot \text{d}\vec S=\iint_{闭合曲面}\frac{\partial \vec D}{\partial t}\cdot \text{d}\vec S \]

从而我们可以得到

\[ \iint_{闭合曲面}(\vec j_0+\frac{\partial \vec D}{\partial t})\cdot \text{d}\vec S=0 \]

我们称电位移通量为

\[ \Phi_D=\iint_{闭合曲面}\vec D\cdot \text{d}\vec S \]

称位移电流为

\[ i_D=\frac{\\Phi_D}{\text{d}t}=\iint_{闭合曲面}\frac{\partial \vec D}{\partial t}\cdot \text{d}\vec S \]

称位移电流密度为

\[ \vec j_D=\frac{\partial \vec D}{\partial t} \]

以电容器为例来理解全电流（\(i_0+i_D\)) 是连续的

Example

在一个极板的内外两侧各作一面\(S_1\)和\(S_2\), 通过前者的有传导电流也有位移电流，后者则只有位移电流 通过\(S_1\)的全电流为

\[ (j_0+\frac{\partial \vec D_内}{\partial t})S=j_0S=I_0 \]

通过\(S_2\)的全电流为

\[ \frac{\Phi_D}{\text{d}t}=\frac{\partial D_外}{\partial t}S=\frac{\partial \sigma_{e0}}{\partial t}S \]

而\(j_0=\frac{\partial \sigma_{e0}}{\partial t}\),从而可得上述两个式子相等

在真空中我们可以得到电容器内部变化的电场产生涡旋磁场的公式为

\[ \begin{aligned} &\oint\vec H\cdot \text{d}\vec l=\iint\frac{\partial \vec D}{\partial t}\cdot \text{d}\vec A\\ &\oint\frac{\vec B}{\mu_0}\cdot \text{d}\vec l=\iint\varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}\cdot \text{d}\vec A\\ &\oint\vec B\cdot \text{d}\vec l=\mu_0\varepsilon_0\iint\frac{\partial \vec E}{\partial t}\cdot \text{d}\vec A\\ \end{aligned} \]

Example

由上述内容，我们得到新的安培环路定律

\[ \oint\vec H\cdot \text{d}\vec l=i_0+i_D=\iint(\vec j_0+\frac{\partial \vec D}{\partial t})\cdot \text{d}\vec A \]

进而我们得到麦克斯韦方程组

\[ \left\{ \begin{aligned} &\iint_{闭合曲面}\vec D \cdot \text{d}\vec A=q_0\\ &\iint_{闭合曲面}\vec B \cdot \text{d}\vec A=0\\ &\oint\vec E\cdot \text{d}\vec l=-\frac{\text{d}\Phi_B}{\text{d}t}=-\iint\frac{\partial \vec B}{\partial t}\cdot \text{d}\vec A\\ &\oint\vec H\cdot \text{d}\vec l=\iint(\vec j_0+\frac{\partial \vec D}{\partial t})\cdot \text{d}\vec A=I_0+\iint\frac{\partial \vec D}{\partial t}\cdot \text{d}\vec A \end{aligned}\right. \]

微分形式

\[ \left\{ \begin{aligned} &\nabla\cdot \vec D=\rho_{e0}\\ &\nabla\cdot \vec B=0\\ &\nabla\times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}\\ &\nabla \times \vec H=\vec j_0+\frac{\partial \vec D}{\partial t} \end{aligned} \right. \]

如果我们存在磁单极子，那么麦克斯韦方程就具有完全的对称性了。

\[ \left\{ \begin{aligned} &\nabla\cdot \vec D=\rho_{e0}\\ &\nabla\cdot \vec H=\rho_m\\ &\nabla\times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}-\mu_0\vec j_m\\ &\nabla \times \vec H=\vec j_e+\frac{\partial \vec D}{\partial t} \end{aligned} \right. \]

Cavity Oscillations (谐振腔)

变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场。

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