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Question

Please describe the algorithm to merge two binary max heap, and analyze its complexity.

Answer

假设我们有两个二叉最大堆 heap1 和 heap2，我们需要将这两个堆合并成一个新的最大堆。以下是详细的步骤：

1. 合并数组：

创建一个新的数组 merged，将 heap1 和 heap2 中的所有元素依次放入该数组中。

2. 计算最后一个非叶子节点的位置：

找出 merged 数组中最后一个非叶子节点的位置。这个位置可以通过公式 (n // 2) - 1 来计算，其中 n 是 merged 数组的长度。

3. 构建最大堆：

从最后一个非叶子节点开始，逐个应用 heapify 方法，以确保每个子树都满足最大堆的性质。

heapify方法的具体步骤如下：

• 初始化当前节点为 largest。

• 检查左子节点和右子节点是否比当前节点大。

• 如果某个子节点更大，则将 largest 更新为该子节点。
• 如果 largest 不是当前节点，则交换当前节点与 largest 节点，并递归地对 largest 节点继续应用 heapify 方法。

4. 逐步应用 heapify 方法：

• 从最后一个非叶子节点开始，逐个向上应用 heapify 方法，直到根节点。
• 例如，对于长度为 9 的数组，从索引 4 开始，依次对索引 4、3、2、1、0 应用 heapify 方法。

5. 最终结果：

• 经过上述步骤后，merged 数组将成为一个新的最大堆。

算法复杂度分析：

设合并之后的树高为H，由下自上地建堆 (Heapify)，相应的公式为

\[ \sum_{h=0}^{H}2^{H-h}h=2^H\sum_{h=0}^{H}\frac{h}{2^h}<2^{H+1} \]

所以算法复杂度是\(O(n)\)

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