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4 Real-Time Physically-Based Materials

PBR主张整个渲染流程，包括材质、光照、相机、光传输等都应遵循物理规律，但业界通常将其狭义理解为“PBR 材质”。

对于实时渲染中的 PBR 材质，分为两种。一种在物体表面上定义，另一种在体空间上定义

  • For surfaces, mostly just microfacet models (used wrong so not PBR) and Disney principled BRDFs (artist friendly but still not PBR)
  • For volumes, mostly focused on fast and approximate single scattering and multiple scattering (for cloud, hair, skin, etc.)

4.1 Microfacet BRDF

微表面模型在 GAMES101 有相应的介绍，总结来说就是下图

微表面模型下的 brdf 项由三项组成：

Fresnel Term 项，表示光线在不同入射角下的反射比例，入射方向与法线的夹角越大，反射的光也越多。常用的估计方法是 Schlick 估计，因为准确计算的的话计算量比较大。

\[ \begin{align} R(\theta) &= R_0 + (1 - R_0)(1 - \cos\theta)^5 \\ R_0 &= \left( \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \right)^2 \end{align} \]

Normal Distribution Function，这个是法线分布函数。如果法线分布比较散，那么材质比较粗糙；反之，如果法线分布比较聚集，那么材质比较光滑。对于法线分布函数，常用的有 Beckmann 和 GGX

Beckmann NDF 的推导

首先我们做一个平行于水平面的关于球的切平面，我们认为法线与该平面的交点的分布是一个二维的正态分布，设法线与该平面的交点为 \((p,q)\)，满足

\[ P(p, q) = \frac{1}{2\pi \sigma^2} e^{-\frac{p^2 + q^2}{2\sigma^2}} \]

然后我们考虑落在该平面上某个小区域的法线数量，从法线分布和交点分布两个角度去考虑，可以得到如下等式

\[ D(\theta_h) \cos\theta_h \, \mathrm{d}\omega_h = P(p,q) \, \mathrm{d}p \, \mathrm{d}q \]

然后我们计算 \(d \omega_h\) 和 \(dp dq\) 的关系

\[ \mathrm{d}p\,\mathrm{d}q = r\mathrm{d}\phi\, \mathrm{d}r = \tan \theta_h \mathrm{d}\phi \frac{1}{\cos^2\theta_h} \mathrm{d}\theta_h = \frac{\tan\theta_h}{\cos^2\theta_h}\mathrm{d}\phi \,\mathrm{d}\theta_h \]
\[ d\omega_h = \sin\theta_h\mathrm{d}\phi \,\mathrm{d}\theta_h \]

将上面这两个式子带入可得

\[ D(\theta_h) \cos\theta_h = P(p,q) \cdot \frac{1}{\cos^3\theta_h} \quad \Rightarrow \quad D(\theta_h) = \frac{P(p,q)}{\cos^4\theta_h} \]

我们用参数 \(α\) 表示“粗糙度”，常常取 \(\alpha = \sqrt2 \sigma\)

\[ P(p,q) = \frac{1}{\pi \alpha^2} e^{-\frac{\tan^2 \theta_h}{\alpha^2}} \]

GGX

GGX 分布也被称为 Trowbridge-Reitz。相比于 Beckmann 的分布，一大特点就是 GGX 更加丝滑，在较远处不像 Beckmann 一样直接消失，而会有比较长的尾巴。

从而使用 GGX 得到的结果，相比于 Beckmann 会更加平滑，有良好的过渡，因此被业界广泛使用

Shadowing-Masking Term：用于描述微表面之间的自遮挡效应：当光线以掠射角入射或出射时，部分微面元会被其他微面元遮挡，导致光照减弱。如果没有这一项的话，就会导致物体的边缘会非常亮，因为分母会变得非常小。

常用的模型是 Smith 模型，将整体的几何遮挡因子\(G(\mathbf{i},\mathbf{o},\mathbf{m})\) 近似解耦为入射方向与法向的遮蔽项 \(G_1(\mathbf{i},\mathbf{m})\) 和出射方向与法向的遮蔽项 \(G_1(\mathbf{o},\mathbf{m})\) 的乘积，

\[ G(\mathbf{i}, \mathbf{o}, \mathbf{m}) \approx G_1(\mathbf{i}, \mathbf{m}) G_1(\mathbf{o}, \mathbf{m}) \]

在基于微表面理论的渲染模型中，若仅考虑单次光线反弹（即一次反射），会导致能量守恒被破坏——尤其在高粗糙度材质下更为明显，因为此时微表面结构复杂，光线会在多个微面元之间发生多次散射（multiple bounces），而传统模型未计入这部分“丢失”的能量

在下图中，我们可以观察到越 diffuse 的物体，越暗，因为光线在多个微面中多次弹射丢失了一些能量。

我们希望的是下面一行的结果都是一样的，经过反射后并不会丢失能量。

解决这个问题的一个方法是 The Kulla-Conty Approximation

我们假设所有光照都是1，那么所有入射的能量与出射的能量是相同的，可以得到下面的式子

\[ E(\mu_o) = \int_0^{2\pi} \int_0^1 f(\mu_o, \mu_i, \phi) \, \mu_i \, d\mu_i \, d\phi \]

入射能量为1，每一个小块的能量是 \(\mu_i \, d\mu_i \, d\phi\)，这一块反射出去的能力是 \(f(\mu_o, \mu_i, \phi) \, \mu_i \, d\mu_i \, d\phi\)，所以最后得到的结果 \(E(\mu_o)\)，应该为1

但是根据之前的分析可以知道，实际上得到的 \(E(\mu_o)\) 是不到1的，我们需要补 \(1 - E(\mu_o)\)。

思路是造一个新的、附加的 BRDF 分量（称为“multiple scattering lobe”），它的积分值恰好等于 \(1−E(μ_o)\)

根据 Helmholtz 互易原理，BRDF 应满足 \(f(\mathbf{i},\mathbf{o})=f(\mathbf{o},\mathbf{i})\)。因此，设计的补偿项应具有如下形式：

\[ c \cdot (1 - E(\mu_i)) \cdot (1 - E(\mu_o)) \]

这里通过计算可以得到

\[ f_{\text{ms}}(\mu_o, \mu_i) = \frac{(1 - E(\mu_o))(1 - E(\mu_i))}{\pi (1 - E_{\text{avg}})}, \quad E_{\text{avg}} = 2 \int_0^1 E(\mu) \, \mu \, d\mu \]

Note

具体的计算如下：

\[ \begin{align*} E_{\text{ms}}(\mu_o) &= \int_0^{2\pi} \int_0^1 f_{\text{ms}}(\mu_o, \mu_i, \phi) \, \mu_i \, d\mu_i \, d\phi \\ &= 2\pi \int_0^1 \frac{(1 - E(\mu_o))(1 - E(\mu_i))}{\pi (1 - E_{\text{avg}})} \, \mu_i \, d\mu_i \\ &= 2 \frac{1 - E(\mu_o)}{1 - E_{\text{avg}}} \int_0^1 (1 - E(\mu_i)) \, \mu_i \, d\mu_i \\ &= \frac{1 - E(\mu_o)}{1 - E_{\text{avg}}} \cdot (1 - E_{\text{avg}}) \\ &= 1 - E(\mu_o) \end{align*} \]

对于上面这个式子的计算，\(E(\mu)\) 仅与 roughness 和 \(\mu\) 有关，所以可以预计算出相应的二维图像，这样计算的时候可供分子来查询

然后 \(E_{avg}\) 就只与 roughness 有关，是一个一维的表格，也可以提前预计算得到。

加上这一项之后，得到的结果就不会有能量衰减了，从图中可以很明显看出来

上述的推理建立在物体是白色，即不吸收能量的情况，理想的物理情况就是能量是守恒的。但是对于有颜色的情况，正常的物理情况就是会吸收一部分的能量。为此我们引入平均菲涅尔反射率 \(F_{avg}\) 的概念，表示从所有入射方向加权平均后，有多少能量被表面反射出去。

\[ F_{\text{avg}} = \frac{\int_0^1 F(\mu) \, \mu \, d\mu}{\int_0^1 \mu \, d\mu} = 2 \int_0^1 F(\mu) \, \mu \, d\mu \]

\(F_{avg}\) 代表有多少能量反射出去，\(E_{avg}\) 代表的是单次散射后被照相机看到的能量（也就是这部分能量不参与后续的弹射了）

于是我们可以得到，能量的传播过程大致如下：

  • 你可以直接看到的：\(F_{\text{avg}} E_{\text{avg}}\)
  • 经过一次反弹后被看到的：\(F_{\text{avg}} (1 - E_{\text{avg}}) \cdot F_{\text{avg}} E_{\text{avg}}\)
  • ...
  • 经过 \(k\) 次反弹后被看到的：\(F_{\text{avg}}^k (1 - E_{\text{avg}})^k \cdot F_{\text{avg}} E_{\text{avg}}\)

求和之后就可以得到

\[ \frac{F_{avg}E_{avg}}{1-F_{avg}(1-E_{avg})} \]

将这一项乘上没有颜色版本的 brdf，就可以得到最终的 brdf 项。

下图就是得到的最终版本的渲染结果

4.2 Linearly Transformed Cosines (LTC)

这个方法主要用于处理多边形光源的问题，但是不能处理阴影的问题。

主要的思路是任何出射的二维BRDF波瓣都可以通过线性变换映射为一个余弦波瓣，同时光源的形状也可同步进行相应变换；在此变换后，将变换后的光照在余弦波瓣上进行积分可得到解析解。

\[ \begin{align*} L(\omega_o) &= L_i \cdot \int_P F(\omega_i) \, d\omega_i \\ &= L_i \cdot \int_P \cos(\omega'_i) \, d\frac{M\omega'_i}{\|M\omega'_i\|} \\ &= L_i \cdot \int_{P'} \cos(\omega'_i) J \, d\omega'_i \quad \text{— Analytic!} \end{align*} \]

其中 \(\omega_i'\) 是变换后的角，\(M\) 是线性变换的矩阵，\(J\) 是雅可比矩阵。同时我们假设了灯每处光照都是一样的

4.3 Disney’s Principled BRDF

当前主流的微表面模型虽具物理基础，但无法完整表征所有真实材质（如常缺失漫反射项），且参数复杂，这对艺术家不友好；所以我们需要改进或重新设计基于物理的渲染（PBR）材料模型。

设计的目标是便于艺术家设计而非严格物理正确的模型。

“Principled” 指 BRDF（双向反射分布函数）的设计遵循若干核心原则：

  • 优先使用直观而非纯物理的参数；参数数量应尽可能少；
  • 各参数应在合理范围内归一化为 0 到 1；
  • 在有意义时允许参数超出该范围以增强艺术控制力；
  • 且所有参数组合都应保持稳健与视觉 plausible，确保材质表现既易用又可靠。

这里介绍的就是迪士尼提出的 Principled BRDF

可以发现这里材质的参数都是描述了一种特征，比如说金属性，各向异性等等，这便于艺术家创作合适的材质。

4.4 Non-Photorealistic Rendering (NPR)

Photorealistic Rendering 意思是如照片真实般的渲染，聚焦于光照，阴影，材质等等的真实感。Non-Photorealistic Rendering 的含义就在于产出一些艺术风格的表现，但是是基于现实的。

比如说下面这张图是现实的房子，但是有着很明显的艺术感。

风格”在视觉渲染中的具体表现：其核心特征可归纳为三点

  • 粗犷的轮廓线：强化角色与物体的边界
  • 色块化的色彩填充：取代细腻渐变，营造漫画感
  • 表面笔触纹理：模拟手绘或印刷质感

在轮廓渲染中，轮廓不仅仅包含物体外缘的剪影，而是包含四种关键边缘类型

  • 边界边（Boundary / border edge, B） —— 模型几何体的开放边缘；
  • 折痕边（Crease edge, C） —— 表面法向突变形成的硬转折线；
  • 材质边（Material edge, M） —— 不同材质或纹理区域的分界；
  • 剪影边（Silhouette edge, S） —— 从当前视角看物体与背景交界的轮廓。

对于描边，我们有三种方法，一种是从渲染的角度去做，一种是从几何的角度去做，最后一种是在图像空间去处理

从渲染角度来看，我们发现边缘的法线与视角基本就是垂直的，所以可以通过在表面区域中，将着色法线与视线方向垂直的部分进行暗化处理，从而在视觉上强化物体的轮廓边缘。

至于这里黑色的部分需要多少，可以通过调整法线与出射角度的内积的阈值来做

从几何角度来看，我们可以先正常渲染物体的正面（frontface），随后将背面（backface）沿法线方向向外“膨胀”并再次渲染，利用背面被放大后露出的边缘在视觉上形成轮廓线；

该方法可扩展为沿顶点法线（vertex normals）方向进行膨胀，以获得更平滑或可控的轮廓粗细。

在图像空间做相应的边缘检测，我们是比较熟悉的，使用一个滤波器（Sobel 算子）就可以得到相应的效果

实现“色块化”（Color blocks）风格的两种不同方法：

  • 硬着色（Hard shading） 是在光照计算阶段对明暗值进行阈值分段，直接输出阶梯状的光照结果；
  • 色调分离（Posterization） 则是在最终图像生成后，对像素颜色值进行量化或阈值处理，将连续渐变的色彩压缩为有限的几个离散色阶。

其实就是设置阈值，产生色块

Strokes Surface Stylization 的实现思想是用预生成的笔触纹理替代逐点着色计算，通过在模型表面映射不同密度、方向或形状的笔触图案来表现明暗与结构；

比如说我需要生成一个素描风格的渲染图像，就是根据渲染结果在不同密度的笔触纹理中进行采样。然后使用 mipmap 的原因是在远处如果还在同一级别上的纹理上采样的话，就会自然地导致密度变大了，所以远处需要在更高级别的 mipmap 上采样（注意这里 mipmap 的生成与之前的不太一样，基本上就是截取原先级别的一小块得到的）

NPR 本质上是艺术驱动的，但工程师需具备将艺术家抽象需求“翻译”为具体渲染技术的能力（例如将“轮廓线”转化为边缘检测算法），风格化方案往往需精细到每个角色甚至每个部件单独定制，而非套用统一模板

然后 NPR 在一定程度上是基于真实性渲染的（Photorealistic models are super important in NPR）

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